Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{4}}{{(6 x + 1)}^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{4}}{{(6 x + 1)}^{3}})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = {(6 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{({(6 x + 1)}^{3})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(6 x + 1)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{3} (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.2.3

Перенесем $4$ влево от ${(6 x + 1)}^{3}$ .

$\frac{4 \cdot {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [{(6 x + 1)}^{3}]}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 6 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x + 1$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x + 1$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - x^{4} (3 {(6 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [6 x + 1])}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.4.2

По правилу суммы производная $6 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.4.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.4.5

Умножим $6$ на $1$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 + \frac{d}{d x} [1]))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.4.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} (6 + 0))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.7.1

Добавим $6$ и $0$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} ({(6 x + 1)}^{2} \cdot 6)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.4.7.2

Перенесем $6$ влево от ${(6 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 3 x^{4} (6 \cdot {(6 x + 1)}^{2})}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.4.7.3

Умножим $6$ на $- 3$ .

$\frac{4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ из $4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3} - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1.1

Вынесем множитель $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ из $4 {(6 x + 1)}^{3} x^{3}$ .

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) - 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.5.1.1.2

Вынесем множитель $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ из $- 18 x^{4} {(6 x + 1)}^{2}$ .

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) + 2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (- 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.5.1.1.3

Вынесем множитель $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3}$ из $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1)) + 2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (- 9 x)$ .

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x + 1) - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (2 (6 x) + 2 \cdot 1 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.5.1.3

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (12 x + 2 \cdot 1 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.5.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (12 x + 2 - 9 x)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.5.1.5

Вычтем $9 x$ из $12 x$ .

$\frac{2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.5.2

Сократим общий множитель ${(6 x + 1)}^{2}$ и ${(6 x + 1)}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель ${(6 x + 1)}^{2}$ из $2 {(6 x + 1)}^{2} x^{3} (3 x + 2)$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{6}}$

Этап 3.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.2.1

Вынесем множитель ${(6 x + 1)}^{2}$ из ${(6 x + 1)}^{6}$ .

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{2} {(6 x + 1)}^{4}}$

Этап 3.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(6 x + 1)}^{2} (2 x^{3} (3 x + 2))}{{(6 x + 1)}^{2} {(6 x + 1)}^{4}}$

Этап 3.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x^{3} (3 x + 2)}{{(6 x + 1)}^{4}}$