Математический анализ Примеры

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Этап 3.2

Объединим $2$ и $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x - 1$ и $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.6.2

Перенесем $3$ влево от $x^{2} + 3$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.7

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.10.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.4.10.3

Умножим $\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3}$ на $\frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.5

Умножим $x^{2} + 3$ на ${(x^{2} + 3)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $x^{2} + 3$ на ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возведем $x^{2} + 3$ в степень $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{1} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{1 + 2}}$

Этап 3.5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{(6 x + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.2.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.2.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.2.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.2.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.2.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.2.4

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.3

Вычтем $6 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{(6 x - 2) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.4

Развернем $(6 x - 2) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{6 x (- 3 x^{2}) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{6 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.5.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{6 \cdot - 3 (x^{2} x) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{6 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{6 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{6 \cdot - 3 x^{3} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.3

Умножим $6$ на $- 3$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.4

Умножим $9$ на $6$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 x \cdot x - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.5.6.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 x^{2} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.7

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.8

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.9

Умножим $- 2$ на $9$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.5.10

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 - 4 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.6

Вычтем $4 x$ из $54 x$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 + 50 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.5.7

Добавим $12 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 18 x^{2} - 18 + 50 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.6

Изменим порядок членов.

$\frac{- 18 x^{3} + 18 x^{2} + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.7

Вынесем множитель $2$ из $- 18 x^{3} + 18 x^{2} + 50 x - 18$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 18 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 18 x^{2} + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.7.2

Вынесем множитель $2$ из $18 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.7.3

Вынесем множитель $2$ из $50 x$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (25 x) - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.7.4

Вынесем множитель $2$ из $- 18$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.7.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.7.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (25 x)$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.7.7

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x) + 2 (- 9)$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 9 x^{3}$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3}) + 9 x^{2} + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.9

Вынесем множитель $- 1$ из $9 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3}) - (- 9 x^{2}) + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 x^{3}) - (- 9 x^{2})$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2}) + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.11

Вынесем множитель $- 1$ из $25 x$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2}) - (- 25 x) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 x^{3} - 9 x^{2}) - (- 25 x)$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.13

Перепишем $- 9$ в виде $- 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 1 (9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.15

Перепишем $- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)$ в виде $- 1 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)$ .

$\frac{2 (- 1 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 3.6.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = - \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$