Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 1

Запишем интеграл в виде предела, когда $t$ стремится к $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Этап 2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- x^{- 1}]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- x^{- 1}]_{1}^{t}}{2}$

Этап 5.2

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем значение $- x^{- 1}$ в $t$ и в $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- t^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

Этап 5.2.2

Единица в любой степени равна единице.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t^{- 1} + 1}{2}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- t^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) + 1}{2}$

Этап 5.3.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (t^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1} - 1)}{2}$

Этап 5.3.4

Перепишем $- (t^{- 1} - 1)$ в виде $- 1 (t^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (t^{- 1} - 1)}{2}$

Этап 5.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

Этап 6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

Этап 6.2

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} t^{- 1} - 1$

Этап 6.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $t$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} t^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 6.5

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{t}$ стремится к $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Этап 6.6

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $t$ к $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Этап 6.6.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Этап 6.6.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Этап 6.6.2.3

Умножим $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Этап 6.6.2.3.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$