Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{3}{10}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{10} x^{5}$ по $x$ равна $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $5$ и $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.4

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.5

Объединим $\frac{15}{10}$ и $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.6

Сократим общий множитель $15$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{3 x^{4}}{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x^{4}}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Объединим $4$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.2.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.2.5

Объединим $\frac{12}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.2.6.2.4

Разделим $6 x^{3}$ на $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

Этап 1.2.4.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $6 x$ из $12 x^{2}$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (2 x) + 6 x (1) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (x^{2}) + 6 x (2 x)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (x^{2} + 2 x) + 6 x (1)$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$6 x (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.2.2.3

Перепишем многочлен.

$6 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$6 x {(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем ${(x + 1)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.5.2

Решим ${(x + 1)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5.2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 x {(x + 1)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, - 1$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $\frac{3}{10}$ на $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{4} + {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Этап 3.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 3.1.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $- 1$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot {(- 1)}^{5} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- 1) = \frac{3}{10} \cdot - 1 + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Умножим $\frac{3}{10} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Объединим $\frac{3}{10}$ и $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{3 \cdot - 1}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.3.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.3.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 + {(- 1)}^{3}$

Этап 3.3.2.1.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + 1 - 1$

Этап 3.3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} - 1$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{1}{1} \cdot \frac{10}{10} - 1$

Этап 3.3.2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} - 1$

Этап 3.3.2.2.4

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1}$

Этап 3.3.2.2.5

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{10}{10}$

Этап 3.3.2.2.6

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{10}{10}$ .

$f (- 1) = - \frac{3}{10} + \frac{10}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}$

Этап 3.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 1 \cdot 10}{10}$

Этап 3.3.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 10 - 10}{10}$

Этап 3.3.2.4.2

Добавим $- 3$ и $10$ .

$f (- 1) = \frac{7 - 10}{10}$

Этап 3.3.2.4.3

Вычтем $10$ из $7$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{10}$

Этап 3.3.2.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 1) = - \frac{3}{10}$

Этап 3.3.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{3}{10}$ .

$- \frac{3}{10}$

Этап 3.4

Подставляя $- 1$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + x^{4} + x^{3}$ , найдем точку $(- 1, - \frac{3}{10})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1, - \frac{3}{10})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (- 1, - \frac{3}{10})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 6 {(- 1.1)}^{3} + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1.1$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.1) = 6 \cdot - 1.331 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $6$ на $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1)$

Этап 5.2.1.3

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 12 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1)$

Этап 5.2.1.4

Умножим $12$ на $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 + 6 (- 1.1)$

Этап 5.2.1.5

Умножим $6$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.986 + 14.52 - 6.6$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $- 7.986$ и $14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 6.534 - 6.6$

Этап 5.2.2.2

Вычтем $6.6$ из $6.534$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.066$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 0.066$ .

$- 0.066$

Этап 5.3

При $- 1.1$ вторая производная имеет вид $- 0.066$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{2^{3}}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (- \frac{1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{8}$ в числитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{- 1}{8}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.5.3

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.5.4

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2 \cdot 4})) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.5.5

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{- 1}{4}) + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.6

Объединим $3$ и $\frac{- 1}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 \cdot - 1}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.7

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.9.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.10

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.11

Умножим $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.12

Единица в любой степени равна единице.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.13

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 12 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.14

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.14.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.14.2

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.14.3

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (- \frac{1}{2})$

Этап 6.2.1.15

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.15.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 6 (\frac{- 1}{2})$

Этап 6.2.1.15.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 (3) (\frac{- 1}{2})$

Этап 6.2.1.15.3

Сократим общий множитель.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2}))$

Этап 6.2.1.15.4

Перепишем это выражение.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 + 3 \cdot - 1$

Этап 6.2.1.16

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + 3 - 3$

Этап 6.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Запишем $3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} - 3$

Этап 6.2.2.2

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{4} - 3$

Этап 6.2.2.3

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} - 3$

Этап 6.2.2.4

Запишем $- 3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1}$

Этап 6.2.2.5

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 6.2.2.6

Умножим $\frac{- 3}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 4}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4}$

Этап 6.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 3 \cdot 4 - 3 \cdot 4}{4}$

Этап 6.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 3 \cdot 4}{4}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 + 12 - 12}{4}$

Этап 6.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Добавим $- 3$ и $12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{9 - 12}{4}$

Этап 6.2.5.2

Вычтем $12$ из $9$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

Этап 6.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

Этап 6.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Этап 6.3

При $- \frac{1}{2}$ вторая производная имеет вид $- 0.75$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 1, 0)$ .

Убывание на $(- 1, 0)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $0.1$ в степень $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Этап 7.2.1.2

Умножим $6$ на $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 {(0.1)}^{2} + 6 (0.1)$

Этап 7.2.1.3

Возведем $0.1$ в степень $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 12 \cdot 0.01 + 6 (0.1)$

Этап 7.2.1.4

Умножим $12$ на $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 6 (0.1)$

Этап 7.2.1.5

Умножим $6$ на $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.12 + 0.6$

Этап 7.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $0.006$ и $0.12$ .

$f'' (0.1) = 0.126 + 0.6$

Этап 7.2.2.2

Добавим $0.126$ и $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.726$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.726$ .

$0.726$

Этап 7.3

При $0.1$ вторая производная имеет вид $0.726$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(0, \infty)$ .

Возрастание в области $(0, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Этап 9