Математический анализ Примеры

$2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2 e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $2 y e^{x}$ по $y$ равна $2 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y \cos (2 x y)$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$ .

$2 e^{x} - \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = \cos (2 x y)$ .

$2 e^{x} - (y \frac{d}{d y} [\cos (2 x y)] + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \cos (y)$ и $g (y) = 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x y$ .

$2 e^{x} - (y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.3.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x y$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.4

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \frac{d}{d y} [y])) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Этап 3.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Этап 3.9

Умножим $\cos (2 x y)$ на $1$ .

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x)) - \cos (2 x y)$

Этап 4.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 e^{x} + 2 y (\sin (2 x y) x) - \cos (2 x y)$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$2 x y \sin (2 x y) + 2 e^{x} - \cos (2 x y)$