Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x^{4} + 3 x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $6 x^{4} + 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{4}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24 x^{3} + 3 (2 x)$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$24 x^{3} + 6 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $24 x^{3} + 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{3}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $24$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 6 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 6$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$24 x^{3} + 6 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $6 x^{4} + 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{4}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$24 x^{3} + 3 (2 x)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 6 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 x^{3} + 6 x$ .

$24 x^{3} + 6 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $24 x^{3} + 6 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$24 x^{3} + 6 x = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $6 x$ из $24 x^{3} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $6 x$ из $24 x^{3}$ .

$6 x (4 x^{2}) + 6 x = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x$ .

$6 x (4 x^{2}) + 6 x (1) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (4 x^{2}) + 6 x (1)$ .

$6 x (4 x^{2} + 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $4 x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $4 x^{2} + 1$ к $0$ .

$4 x^{2} + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $4 x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$4 x^{2} = - 1$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $4 x^{2} = - 1$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $4 x^{2} = - 1$ на $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{4}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{2} = - \frac{1}{4}$

Этап 5.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$

Этап 5.5.2.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Перепишем $- \frac{1}{4}$ в виде ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2}}$

Этап 5.5.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{i}{2}$

Этап 5.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{i}{2}$

Этап 5.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{i}{2}$

Этап 5.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 x (4 x^{2} + 1) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$72 {(0)}^{2} + 6$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$72 \cdot 0 + 6$

Этап 9.1.2

Умножим $72$ на $0$ .

$0 + 6$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $6$ .

$6$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = 6 {(0)}^{4} + 3 {(0)}^{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 6 \cdot 0 + 3 {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $6$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{2}$

Этап 11.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0$

Этап 11.2.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 11.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 6 x^{4} + 3 x^{2}$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

Этап 13