Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} e^{- x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2}$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.5

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- x^{2}}$ .

$x^{3} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$

Этап 1.7.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = - 2 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.8

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.8.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.8.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.2.9

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{- x^{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Этап 2.3.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Этап 2.3.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Этап 2.3.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Этап 2.3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Этап 2.3.11

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Этап 2.3.12

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Этап 2.3.13

Умножим $e^{- x^{2}}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{4} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Этап 2.4.3.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 (e^{- x^{2}} (x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Этап 2.4.3.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}} x^{2} - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Этап 2.4.3.4

Вычтем $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ из $- 6 e^{- x^{2}} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.4.1

Перенесем $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 x^{2} e^{- x^{2}} - 4 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Этап 2.4.3.4.2

Вычтем $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ из $- 6 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 10 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{4} - 10 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$

Этап 2.4.5

Изменим порядок множителей в $4 e^{- x^{2}} x^{4} - 10 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 10 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.2

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x^{2}$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.5

Перенесем $- 2$ влево от $e^{- x^{2}}$ .

$x^{3} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 4.1.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)$

Этап 4.1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Изменим порядок членов.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$

Этап 4.1.7.2

Изменим порядок множителей в $- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2 x e^{- x^{2}}$ из $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $2 x e^{- x^{2}}$ из $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $2 x e^{- x^{2}}$ из $2 x e^{- x^{2}}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} (1) = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $2 x e^{- x^{2}}$ из $2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} (1)$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2} + 1) = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2} + 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $1^{2}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (1^{2} - x^{2}) = 0$

Этап 5.2.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$2 x e^{- x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Этап 5.2.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x e^{- x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{- x^{2}} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $e^{- x^{2}}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $e^{- x^{2}}$ к $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Этап 5.5.2

Решим $e^{- x^{2}} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Этап 5.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.5.2.3

Нет решения для $e^{- x^{2}} = 0$

Нет решения

Этап 5.6

Приравняем $1 + x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $1 + x$ к $0$ .

$1 + x = 0$

Этап 5.6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.7

Приравняем $1 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $1 - x$ к $0$ .

$1 - x = 0$

Этап 5.7.2

Решим $1 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 1$

Этап 5.7.2.2

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.7.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = 1$

Этап 5.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x e^{- x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 {(0)}^{4} e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$4 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 e^{- 0} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 e^{0} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9.1.6

Умножим $0$ на $1$ .

$0 - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 10 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9.1.8

Умножим $- 10$ на $0$ .

$0 + 0 e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9.1.9

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 e^{- 0} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9.1.10

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9.1.11

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9.1.12

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 9.1.13

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{- 0}$

Этап 9.1.14

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Этап 9.1.15

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Этап 9.1.16

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 0 + 2$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 2$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}}$

Этап 11.2.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 e^{- 0}$

Этап 11.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Этап 11.2.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Этап 11.2.5

Умножим $0$ на $1$ .

$f (0) = 0$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 {(- 1)}^{4} e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$4 \cdot 1 e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.3

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$4 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 e^{{(- 1)}^{1 + 2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$4 e^{{(- 1)}^{3}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$4 e^{- 1} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.6

Объединим $4$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{4}{e} - 10 \cdot 1 e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.8

Умножим $- 10$ на $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.9

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.9.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.9.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.9.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{1 + 2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.9.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{3}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.10

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - 10 \frac{1}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.12

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} + \frac{- 10}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.14

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.14.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.14.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Этап 13.1.14.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{1 + 2}}$

Этап 13.1.14.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{3}}$

Этап 13.1.15

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1}$

Этап 13.1.16

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Этап 13.1.17

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + \frac{2}{e}$

Этап 13.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - 10 + 2}{e}$

Этап 13.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.2.1

Вычтем $10$ из $4$ .

$\frac{- 6 + 2}{e}$

Этап 13.2.2.2

Добавим $- 6$ и $2$ .

$\frac{- 4}{e}$

Этап 13.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{e}$

Этап 14

$x = - 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 15.2.2

Умножим $e^{- {(- 1)}^{2}}$ на $1$ .

$f (- 1) = e^{- {(- 1)}^{2}}$

Этап 15.2.3

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Этап 15.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{1 + 2}}$

Этап 15.2.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{3}}$

Этап 15.2.4

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = e^{- 1}$

Этап 15.2.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{e}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 {(1)}^{4} e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$4 \cdot 1 e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 e^{- 1 \cdot 1} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$4 e^{- 1} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.6

Объединим $4$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{4}{e} - 10 \cdot 1 e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.8

Умножим $- 10$ на $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.9

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1 \cdot 1} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.11

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - 10 \frac{1}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.12

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} + \frac{- 10}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 17.1.14

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1 \cdot 1}$

Этап 17.1.15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1}$

Этап 17.1.16

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Этап 17.1.17

Объединим $2$ и $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + \frac{2}{e}$

Этап 17.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - 10 + 2}{e}$

Этап 17.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Вычтем $10$ из $4$ .

$\frac{- 6 + 2}{e}$

Этап 17.2.2.2

Добавим $- 6$ и $2$ .

$\frac{- 4}{e}$

Этап 17.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{e}$

Этап 18

$x = 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 19.2.2

Умножим $e^{- {(1)}^{2}}$ на $1$ .

$f (1) = e^{- {(1)}^{2}}$

Этап 19.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = e^{- 1 \cdot 1}$

Этап 19.2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Этап 19.2.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Этап 19.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

$(- 1, \frac{1}{e})$ — локальный максимум

$(1, \frac{1}{e})$ — локальный максимум

Этап 21