Математический анализ Примеры

$\int x (x^{2} + \frac{3}{x^{4}}) d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x \cdot x^{2} + x \frac{3}{x^{4}} d x$

Этап 1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int x^{1} x^{2} + x \frac{3}{x^{4}} d x$

Этап 1.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{1 + 2} + x \frac{3}{x^{4}} d x$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\int x^{3} + x \frac{3}{x^{4}} d x$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\int x^{3} + x \frac{3}{x \cdot x^{3}} d x$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\int x^{3} + x \frac{3}{x \cdot x^{3}} d x$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\int x^{3} + \frac{3}{x^{3}} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{3} d x + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + \int \frac{3}{x^{3}} d x$

Этап 4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Этап 5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Этап 5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 \int x^{- 3} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Этап 7.1.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + C + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Этап 7.2

Упростим.

$\frac{1}{4} x^{4} + 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{4} x^{4} - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Этап 7.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{- 3}{2 x^{2}} + C$

Этап 7.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{4} x^{4} - \frac{3}{2 x^{2}} + C$