Математический анализ Примеры

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Этап 1

Запишем $e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ в виде функции.

$f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)}) d x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим на $1$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}) d x$

Этап 4.1.2

Разделим дроби.

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) d x$

Этап 4.1.3

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в $\sec^{2} (x)$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \sec^{2} (x)) d x$

Этап 4.1.4

Разделим $e^{- x}$ на $1$ .

$\int e^{x} (2 + e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{x} \cdot 2 + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Этап 4.3

Перенесем $2$ влево от $e^{x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Этап 4.4

Умножим $e^{x}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x} e^{x} \sec^{2} (x) d x$

Этап 4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x + x} \sec^{2} (x) d x$

Этап 4.4.3

Добавим $- x$ и $x$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{0} \sec^{2} (x) d x$

Этап 4.5

Упростим $e^{0} \sec^{2} (x)$ .

$\int 2 e^{x} + \sec^{2} (x) d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 7

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Этап 8

Поскольку производная $\tan (x)$ равна $\sec^{2} (x)$ , интеграл $\sec^{2} (x)$ равен $\tan (x)$ .

$2 (e^{x} + C) + \tan (x) + C$

Этап 9

Упростим.

$2 e^{x} + \tan (x) + C$

Этап 10

Ответ ― первообразная функции $f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ .

$F (x) =$ $2 e^{x} + \tan (x) + C$