Математический анализ Примеры

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$ , $(1, 0)$

Этап 1

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Этап 1.2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2.5

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.2.6

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x y$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3.2

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3.5

Умножим $y$ на $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + 2 x$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y') - 2 y + 2 x$

Этап 1.2.5.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' - 2 y + 2 x$

Этап 1.2.5.3

Изменим порядок членов.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y$

Этап 1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 1.4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y = 0$

Этап 1.5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Вычтем $2 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' + 2 x - 2 y = - 2 y^{2} x$

Этап 1.5.1.2

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' - 2 y = - 2 y^{2} x - 2 x$

Этап 1.5.1.3

Добавим $2 y$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $2 x y'$ из $2 x^{2} y y' - 2 x y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $2 x y'$ из $2 x^{2} y y'$ .

$2 x y' (x y) - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $2 x y'$ из $- 2 x y'$ .

$2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $2 x y'$ из $2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1$ .

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Этап 1.5.3

Разделим каждый член $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ на $2 x (x y - 1)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.1

Разделим каждый член $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ на $2 x (x y - 1)$ .

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.2.3

Сократим общий множитель $x y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.2.3.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (x y - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{- y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.4

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (x y - 1)$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.5.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.5.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.1.7.1

Сократим общий множитель.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.1.7.2

Перепишем это выражение.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.3

Чтобы записать $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x y - 1) x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.4.1

Умножим $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ на $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{(x y - 1) x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.4.2

Изменим порядок множителей в $(x y - 1) x$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{x (x y - 1)} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x + y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{- y^{2} x - 1 x + y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.6.2

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$y' = \frac{- y^{2} x - x + y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.7.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x) - x + y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.7.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x) - (x) + y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.7.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2} x) - (x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) + y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.7.4

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) - 1 (- y)}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2} x + x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.3.3.7.6.1

Перепишем $- (y^{2} x + x - y)$ в виде $- 1 (y^{2} x + x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

Этап 1.5.3.3.7.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

Этап 1.7

Найдем значение $x = 1$ в $y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$- \frac{y^{2} (1) + 1 - y}{(1) ((1) \cdot y - 1)}$

Этап 1.7.2

Заменим в этом выражении переменную $y$ на $0$ .

$- \frac{{(0)}^{2} (1) + 1 - (0)}{(1) ((1) \cdot (0) - 1)}$

Этап 1.7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{0 \cdot 1 + 1 - (0)}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Этап 1.7.3.2

Умножим $0$ на $1$ .

$- \frac{0 + 1 - (0)}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Этап 1.7.3.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- \frac{0 + 1 + 0}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Этап 1.7.3.4

Добавим $0 + 1$ и $0$ .

$- \frac{0 + 1}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Этап 1.7.3.5

Добавим $0$ и $1$ .

$- \frac{1}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Этап 1.7.4

Умножим $(1) \cdot (0) - 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{(1) \cdot (0) - 1}$

Этап 1.7.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.5.1

Умножим $0$ на $1$ .

$- \frac{1}{0 - 1}$

Этап 1.7.5.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$- \frac{1}{- 1}$

Этап 1.7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.6.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$- - 1$

Этап 1.7.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1$

Этап 2

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Используем угловой коэффициент $1$ и координаты заданной точки $(1, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Этап 2.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Этап 2.3.2

Умножим $x - 1$ на $1$ .

$y = x - 1$

Этап 3