Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{8 (x^{4} - 9)}{x^{2} - 3}$

Этап 1

Вынесем член $8$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x^{4} - 9}{x^{2} - 3}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$8 \frac{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{4} - 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{4} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.1.2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$8 \frac{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{4} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.1.3

Найдем предел $9$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \sqrt{3}$ для $x$ .

$8 \frac{{(- \sqrt{3})}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{{(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$8 \frac{1 {\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.1.3

Умножим ${\sqrt{3}}^{4}$ на $1$ .

$8 \frac{{\sqrt{3}}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{4}$ в виде $3^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$8 \frac{3^{\frac{4}{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.1.4.4

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.1.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.1.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$8 \frac{3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.1.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$8 \frac{3^{\frac{2}{1}} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.1.4.4.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$8 \frac{3^{2} - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$8 \frac{9 - 1 \cdot 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.1.6

Умножим $- 1$ на $9$ .

$8 \frac{9 - 9}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.2.3.2

Вычтем $9$ из $9$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - 3}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{0}{lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 3}$

Этап 2.1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$8 \frac{0}{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2} - lim_{x \to - \sqrt{3}} 3}$

Этап 2.1.3.1.3

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{0}{{(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 2.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \sqrt{3}$ для $x$ .

$8 \frac{0}{{(- \sqrt{3})}^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 2.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$8 \frac{0}{{(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 2.1.3.3.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$8 \frac{0}{1 {\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 2.1.3.3.1.3

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$8 \frac{0}{{\sqrt{3}}^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 2.1.3.3.1.4

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{0}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 3}$

Этап 2.1.3.3.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{0}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 3}$

Этап 2.1.3.3.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$8 \frac{0}{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}$

Этап 2.1.3.3.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.3.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$8 \frac{0}{3^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 3}$

Этап 2.1.3.3.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$8 \frac{0}{3^{1} - 1 \cdot 3}$

Этап 2.1.3.3.1.4.5

Найдем экспоненту.

$8 \frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Этап 2.1.3.3.1.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$8 \frac{0}{3 - 3}$

Этап 2.1.3.3.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$8 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$8 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$8 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$8 (\frac{0}{0})$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x^{4} - 9}{x^{2} - 3} = lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} - 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $x^{4} - 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 9]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Этап 2.3.5

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3]}$

Этап 2.3.6

По правилу суммы производная $x^{2} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Этап 2.3.8

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x + 0}$

Этап 2.3.9

Добавим $2 x$ и $0$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{4 x^{3}}{2 x}$

Этап 2.4

Сократим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x^{3}$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 x}$

Этап 2.4.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 (x)}$

Этап 2.4.1.2.2

Сократим общий множитель.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 \cdot 2 x^{3}}{2 x}$

Этап 2.4.1.2.3

Перепишем это выражение.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 x^{3}}{x}$

Этап 2.4.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x}$

Этап 2.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x^{1}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x \cdot 1}$

Этап 2.4.2.2.3

Сократим общий множитель.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{x \cdot 2 x^{2}}{x \cdot 1}$

Этап 2.4.2.2.4

Перепишем это выражение.

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} \frac{2 x^{2}}{1}$

Этап 2.4.2.2.5

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$8 lim_{x \to - \sqrt{3}} 2 x^{2}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$8 \cdot 2 lim_{x \to - \sqrt{3}} x^{2}$

Этап 3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$8 \cdot 2 {(lim_{x \to - \sqrt{3}} x)}^{2}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $- \sqrt{3}$ для $x$ .

$8 \cdot 2 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $8$ на $2$ .

$16 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Этап 5.2

Применим правило умножения к $- \sqrt{3}$ .

$16 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

Этап 5.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$16 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

Этап 5.4

Умножим ${\sqrt{3}}^{2}$ на $1$ .

$16 {\sqrt{3}}^{2}$

Этап 5.5

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 5.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Этап 5.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 5.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Сократим общий множитель.

$16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Этап 5.5.4.2

Перепишем это выражение.

$16 \cdot 3^{1}$

Этап 5.5.5

Найдем экспоненту.

$16 \cdot 3$

Этап 5.6

Умножим $16$ на $3$ .

$48$