Математический анализ Примеры

$\int \frac{3}{x^{3}} + 5 \sqrt{x} d x$

Этап 1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{3}{x^{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Этап 2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Этап 3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 \int x^{- 3} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

Этап 5.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

Этап 6

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int \sqrt{x} d x$

Этап 7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

$\frac{- 3}{2 x^{2}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Этап 9.2.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 9.2.3

Объединим $5$ и $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Этап 9.2.4

Умножим $2$ на $5$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$