Математический анализ Примеры

$\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$

Этап 1

Изменим порядок $e^{8 θ}$ и $\sin (9 θ)$ .

$\int \sin (9 θ) e^{8 θ} d θ$

Этап 2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \sin (9 θ)$ и $d v = e^{8 θ}$ .

$\sin (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - \int \frac{1}{8} e^{8 θ} (9 \cos (9 θ)) d θ$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{8} \cdot 9$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $\frac{1}{8} \cdot 9$ из-под знака интеграла.

$\sin (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $e^{8 θ}$ .

$\sin (9 θ) \frac{e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Этап 4.2

Объединим $\sin (9 θ)$ и $\frac{e^{8 θ}}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{8}$ и $9$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Этап 4.4

Изменим порядок $e^{8 θ}$ и $\cos (9 θ)$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} \int \cos (9 θ) e^{8 θ} d θ)$

Этап 5

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = \cos (9 θ)$ и $d v = e^{8 θ}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - \int \frac{1}{8} e^{8 θ} (- 9 \sin (9 θ)) d θ))$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{8} \cdot - 9$ — константа по отношению к $θ$ , вынесем $\frac{1}{8} \cdot - 9$ из-под знака интеграла.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $e^{8 θ}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) \frac{e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Этап 7.2

Объединим $\cos (9 θ)$ и $\frac{e^{8 θ}}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Этап 7.3

Объединим $\frac{1}{8}$ и $- 9$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{8} \cdot \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

Этап 7.5

Умножим $\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8}$ на $\frac{9}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{8 \cdot 8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

Этап 7.6

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Умножим $8$ на $8$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

Этап 7.6.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + 1 (\frac{9}{8}) (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)$

Этап 7.6.3

Умножим $\frac{9}{8}$ на $1$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{9}{8} (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)$

Этап 7.7

Умножим $\frac{- 9}{8}$ на $\frac{9}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 9 \cdot 9}{8 \cdot 8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

Этап 7.8

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.8.1

Умножим $- 9$ на $9$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{8 \cdot 8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

Этап 7.8.2

Умножим $8$ на $8$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{64} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

Этап 8

Найдя решение для $\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$ , получим $\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перенесем $9$ влево от $\cos (9 θ) e^{8 θ}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cdot (\cos (9 θ) e^{8 θ})}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

Этап 9.1.1.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{145}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.1.2

Перепишем $(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$ в виде $(\frac{1}{8} \sin (9 θ) e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$ .

$(\frac{1}{8} \sin (9 θ) e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $\sin (9 θ)$ .

$(\frac{\sin (9 θ)}{8} e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.1.3.2

Объединим $\frac{\sin (9 θ)}{8}$ и $e^{8 θ}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.1.3.3

Объединим $\cos (9 θ)$ и $\frac{9}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) \cdot 9}{64} e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.1.3.4

Объединим $e^{8 θ}$ и $\frac{\cos (9 θ) \cdot 9}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{e^{8 θ} (\cos (9 θ) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.1.3.5

Перенесем $9$ влево от $\cos (9 θ)$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Изменим порядок множителей в $\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8}$ .

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.1.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.2.1

Перепишем.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (\cos (9 θ) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.1.4.2.2

Перенесем $9$ влево от $\cos (9 θ)$ .

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cdot \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.1.4.2.3

Избавимся от ненужных скобок.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} \cdot 9 \cos (9 θ)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.1.4.3

Перенесем $9$ влево от $e^{8 θ}$ .

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.2

Перепишем $(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$ в виде $(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$ .

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$

Этап 9.3

Изменим порядок множителей в $\frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}$ .

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$