Математический анализ Примеры

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$

Этап 1

Запишем $\sin^{2} (\frac{x}{2})$ в виде функции.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Этап 4

Пусть $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Тогда $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , следовательно $2 d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 4.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 4.1.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Этап 5.3

Перенесем $2$ влево от $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Этап 7

Используем формулу половинного угла для записи $\sin^{2} (u_{1})$ в виде $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$2 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$1 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 9.3

Умножим $\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$ на $1$ .

$\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 10

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 12

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Этап 13

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Тогда $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , следовательно $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Пусть $u_{2} = 2 u_{1}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Дифференцируем $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Этап 13.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $u_{1}$ , производная $2 u_{1}$ по $u_{1}$ равна $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Этап 13.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 13.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 13.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Этап 14

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Этап 15

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Этап 16

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Этап 17

Упростим.

$u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Этап 18

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Этап 18.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 u_{1}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1}) + C$

Этап 18.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2}) + C$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Объединим $2$ и $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

Этап 19.2

Объединим $\sin (\frac{2 x}{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

Этап 20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

Этап 20.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + C$

Этап 20.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$

Этап 21

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$