Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 2} \frac{x^{5} - 32}{x^{4} - 16}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{5} - 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{5} - lim_{x \to 2} 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Этап 1.1.2.1.2

Вынесем степень $5$ в выражении $x^{5}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{5} - lim_{x \to 2} 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Этап 1.1.2.1.3

Найдем предел $32$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{5} - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Этап 1.1.2.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{2^{5} - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Этап 1.1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$\frac{32 - 1 \cdot 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Этап 1.1.2.3.1.2

Умножим $- 1$ на $32$ .

$\frac{32 - 32}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Этап 1.1.2.3.2

Вычтем $32$ из $32$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - 16}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 16}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $4$ в выражении $x^{4}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 16}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $16$ , который является константой по мере приближения $x$ к $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{0}{2^{4} - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$\frac{0}{16 - 1 \cdot 16}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$\frac{0}{16 - 16}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{5} - 32}{x^{4} - 16} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} - 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5} - 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{5} - 32$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 32]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 32]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Этап 1.3.4

Поскольку $- 32$ является константой относительно $x$ , производная $- 32$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Этап 1.3.5

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x^{4} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} + 0}$

Этап 1.3.9

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x^{4}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $5 x^{4}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3}}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} \cdot 4}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} \cdot 4}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 2} \frac{5 x}{4}$

Этап 2

Вынесем член $\frac{5}{4}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to 2} x$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $2$ для $x$ .

$\frac{5}{4} \cdot 2$

Этап 4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{5}{2 (2)} \cdot 2$

Этап 4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Этап 4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{2}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{5}{2}$

Десятичная форма:

$2.5$