Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- \frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2.5

Объединим $\frac{- 3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.2.6.2.4

Разделим $- x^{2}$ на $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- x^{2} - 9 (2 x)$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f' (x) = - x^{2} - 18 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $- x^{2} - 18 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - 18 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x - 18 \cdot 1$

Этап 1.2.3.3

Умножим $- 18$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 x - 18$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x - 18$ .

$- 2 x - 18$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x - 18 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$- 2 x - 18 = 0$

Этап 2.2

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$- 2 x = 18$

Этап 2.3

Разделим каждый член $- 2 x = 18$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $- 2 x = 18$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{18}{- 2}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $18$ на $- 2$ .

$x = - 9$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 9$ в $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 9$ .

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 9 {(- 9)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведем $- 9$ в степень $3$ .

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2.2

Вынесем множитель $3$ из $- 729$ .

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 243)) - 9 {(- 9)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 243) - 9 {(- 9)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- 9) = - 1 \cdot - 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 243$ .

$f (- 9) = 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $- 9$ на ${(- 9)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

Умножим $- 9$ на ${(- 9)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1.1

Возведем $- 9$ в степень $1$ .

$f (- 9) = 243 + (- 9) {(- 9)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{1 + 2}$

Этап 3.1.2.1.4.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{3}$

Этап 3.1.2.1.5

Возведем $- 9$ в степень $3$ .

$f (- 9) = 243 - 729$

Этап 3.1.2.2

Вычтем $729$ из $243$ .

$f (- 9) = - 486$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $- 486$ .

$- 486$

Этап 3.2

Подставляя $- 9$ в $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ , найдем точку $(- 9, - 486)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 9, - 486)$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 9)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 9.1$ .

$f'' (- 9.1) = - 2 \cdot - 9.1 - 18$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 2$ на $- 9.1$ .

$f'' (- 9.1) = 18.2 - 18$

Этап 5.2.2

Вычтем $18$ из $18.2$ .

$f'' (- 9.1) = 0.2$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $0.2$ .

$0.2$

Этап 5.3

При $- 9.1$ вторая производная имеет вид $0.2$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 9)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 9)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 9, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8.9$ .

$f'' (- 8.9) = - 2 \cdot - 8.9 - 18$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 2$ на $- 8.9$ .

$f'' (- 8.9) = 17.8 - 18$

Этап 6.2.2

Вычтем $18$ из $17.8$ .

$f'' (- 8.9) = - 0.2$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.2$ .

$- 0.2$

Этап 6.3

При $- 8.9$ вторая производная имеет вид $- 0.2$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 9, \infty)$ .

Убывание на $(- 9, \infty)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(- 9, - 486)$ .

$(- 9, - 486)$

Этап 8