Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{8} - 1 (\frac{2}{3}) k - 1$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем $- 1 (\frac{2}{3})$ в виде $- (\frac{2}{3})$ .

$- (\frac{2}{3}) \cdot k - 1$

Этап 1.1.2

Объединим $k$ и $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{k \cdot 2}{3} - 1$

Этап 1.1.3

Перенесем $2$ влево от $k$ .

$- \frac{2 k}{3} - 1$

Этап 1.2

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1$

Этап 2

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1 = \sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} + \sum_{k = 1}^{8} - 1$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $- \frac{2}{3}$ за символ суммирования.

$(- \frac{2}{3}) \sum_{k = 1}^{8} k$

Этап 3.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 3.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- \frac{2}{3}) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Добавим $8$ и $1$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{8 \cdot 9}{2}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $8$ на $9$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Этап 3.4.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Этап 3.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Этап 3.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{3} \cdot 72$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $3$ из $72$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 (24))$

Этап 3.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Этап 3.4.3.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \cdot 24$

Этап 3.4.4

Умножим $- 1$ на $24$ .

$- 24$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{8} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 4.2

Подставим значения в формулу.

$(- 1) (8)$

Этап 4.3

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 8$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$- 24 - 8$

Этап 6

Вычтем $8$ из $- 24$ .

$- 32$