Математический анализ Примеры

$y = x^{5} \sin (x)$

Этап 1

Пусть $y = f (x)$ , возьмем натуральный логарифм обеих частей $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5} \sin (x))$

Этап 2

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\ln (x^{5} \sin (x))$ в виде $\ln (x^{5}) + \ln (\sin (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5}) + \ln (\sin (x))$

Этап 2.2

Развернем $\ln (x^{5})$ , вынося $5$ из логарифма.

$\ln (y) = 5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Этап 3

Продифференцируем выражение, используя цепное правило, учитывая, что $y$ — функция от $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем левую часть $\ln (y)$ , используя цепное правило.

$\frac{y'}{y} = 5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Этап 3.2

Продифференцируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Дифференцируем $5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \ln (x) + \ln (\sin (x))]$

Этап 3.2.2

По правилу суммы производная $5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Этап 3.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \ln (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Этап 3.2.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Этап 3.2.3.3

Объединим $5$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Этап 3.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.2.4.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.2.4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.2.4.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 3.2.4.3

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \csc (x) \cos (x)$

Этап 3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Изменим порядок членов.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) + \frac{5}{x}$

Этап 3.2.5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \frac{5}{x}$

Этап 3.2.5.2.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{5}{x}$

Этап 3.2.5.3

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cot (x) + \frac{5}{x}$

Этап 4

Изолируем $y'$ и заменим исходную функцию на $y$ в правой части.

$y' = (\cot (x) + \frac{5}{x}) (x^{5} \sin (x))$

Этап 5

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$y' = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{5}{x}) (x^{5} \sin (x))$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (x^{5} \sin (x)) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $x^{5} \sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{5}) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{5}) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5} \sin (x)$ .

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x (x^{4} \sin (x)))$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x (x^{4} \sin (x)))$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$y' = \cos (x) x^{5} + 5 (x^{4} \sin (x))$

Этап 5.5

Изменим порядок множителей в $\cos (x) x^{5} + 5 x^{4} \sin (x)$ .

$y' = x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x)$