Математический анализ Примеры

$y' + y = 0$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение.

$\frac{d y}{d x} + y = 0$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \cdot 0$

Этап 3.2

Умножим $e^{x}$ на $0$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = 0$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = 0$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = 0$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int 0 d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} y = \int 0 d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$e^{x} y = 0 + C$

Этап 7.2

Добавим $0$ и $C$ .

$e^{x} y = C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{x} y = C$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{x} y = C$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{C}{e^{x}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{C}{e^{x}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C}{e^{x}}$