Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} (e^{t} + 5 e^{5 t}) d t$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int_{0}^{1} e^{t} + 5 e^{5 t} d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} e^{t} d t + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Этап 3

Интеграл $e^{t}$ по $t$ имеет вид $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Этап 4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{1} e^{5 t} d t$

Этап 5

Пусть $u = 5 t$ . Тогда $d u = 5 d t$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = 5 t$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Этап 5.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $t$ , производная $5 t$ по $t$ равна $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $t$ в $u = 5 t$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Этап 5.3

Умножим $5$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $t$ в $u = 5 t$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Этап 5.5

Умножим $5$ на $1$ .

$u_{upper} = 5$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Этап 6

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 7

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $5$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Этап 8.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Этап 8.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{t}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Этап 8.3

Умножим $\int_{0}^{5} e^{u} d u$ на $1$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Этап 9

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + e^{u}]_{0}^{5}$

Этап 10

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Найдем значение $e^{t}$ в $1$ и в $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{5}$

Этап 10.2

Найдем значение $e^{u}$ в $5$ и в $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Этап 10.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Упростим.

$e - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Этап 10.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Этап 10.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e - 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Этап 10.3.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1 \cdot 1$

Этап 10.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1$

Этап 10.3.6

Вычтем $1$ из $- 1$ .

$e + e^{5} - 2$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e + e^{5} - 2$

Десятичная форма:

$149.13144093 \dots$

Этап 12