Математический анализ Примеры

$\int \frac{10}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Этап 1

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$10 \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Этап 2

Пусть $u = 1 + x$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Этап 3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$10 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 3.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$10 \int u^{- 2} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$10 (- u^{- 1} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $10 (- u^{- 1} + C)$ в виде $10 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$10 (- \frac{1}{u}) + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $10$ .

$- 10 \frac{1}{u} + C$

Этап 5.2.2

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 10}{u} + C$

Этап 5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10}{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $1 + x$ .

$- \frac{10}{1 + x} + C$