Математический анализ Примеры

$\int_{1}^{3} \frac{2 + y e^{y}}{y} d y$

Этап 1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} + \frac{y e^{y}}{y} d y$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Этап 3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Этап 3.2

Разделим $e^{y}$ на $1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Этап 4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Этап 5

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Этап 6

Интеграл $e^{y}$ по $y$ имеет вид $e^{y}$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + e^{y}]_{1}^{3}$

Этап 7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Найдем значение $\ln (| y |)$ в $3$ и в $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{y}]_{1}^{3}$

Этап 7.1.2

Найдем значение $e^{y}$ в $3$ и в $1$ .

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e^{1}$

Этап 7.1.3

Упростим.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e$

Этап 7.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Этап 7.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $3$ равно $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Этап 7.3.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$2 \ln (\frac{3}{1}) + e^{3} - e$

Этап 7.3.3

Разделим $3$ на $1$ .

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Десятичная форма:

$19.56447967 \dots$

Этап 9