Математический анализ Примеры

$\int (\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4}{x^{2}} d x$

Этап 2

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 3.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{- 2} d x$

Этап 4

Развернем $(x^{3} + 2 x^{2} - 4) x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (x^{3} + 2 x^{2}) x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int x^{3} x^{- 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{3 - 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 4.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 4.5

Упростим.

$\int x + 2 x^{2} x^{- 2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x + 2 x^{2 - 2} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 4.7

Вычтем $2$ из $2$ .

$\int x + 2 x^{0} - 4 x^{- 2} d x$

Этап 4.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int x + 2 \cdot 1 - 4 x^{- 2} d x$

Этап 4.9

Умножим $2$ на $1$ .

$\int x + 2 - 4 x^{- 2} d x$

Этап 4.10

Перенесем $2$ .

$\int x - 4 x^{- 2} + 2 d x$

Этап 5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int - 4 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 4 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Этап 7

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Этап 8

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Этап 9

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 4 (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$

Этап 10.2

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{4}{x} + 2 x + C$