Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$

Этап 1

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 2

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Этап 3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{{(3 x + 2)}^{5}} d x$

Этап 4

Пусть $u = 3 x + 2$ . Тогда $d u = 3 d x$ , следовательно $\frac{1}{3} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = 3 x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Этап 4.1.2

По правилу суммы производная $3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $3$ и $0$ .

$3$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5}} \cdot \frac{1}{3} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1}{u^{5}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$2 \int \frac{1}{u^{5} \cdot 3} d u$

Этап 5.2

Перенесем $3$ влево от $u^{5}$ .

$2 \int \frac{1}{3 u^{5}} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u)$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2$ .

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{u^{5}} d u$

Этап 7.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем $u^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{2}{3} \int {(u^{5})}^{- 1} d u$

Этап 7.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \int u^{5 \cdot - 1} d u$

Этап 7.2.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{2}{3} \int u^{- 5} d u$

Этап 8

По правилу степени интеграл $u^{- 5}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{4} u^{- 4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} u^{- 4} + C)$ в виде $\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{u^{4}}) + C$

Этап 9.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $\frac{1}{u^{4}}$ на $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{u^{4} \cdot 4}) + C$

Этап 9.2.2

Перенесем $4$ влево от $u^{4}$ .

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{4 \cdot u^{4}}) + C$

Этап 9.2.3

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{4 u^{4}}$ .

$- \frac{2}{3 (4 u^{4})} + C$

Этап 9.2.4

Умножим $4$ на $3$ .

$- \frac{2}{12 u^{4}} + C$

Этап 9.2.5

Сократим общий множитель $2$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (1)}{12 u^{4}} + C$

Этап 9.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $12 u^{4}$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (6 u^{4})} + C$

Этап 9.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (6 u^{4})} + C$

Этап 9.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{6 u^{4}} + C$

Этап 10

Заменим все вхождения $u$ на $3 x + 2$ .

$- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{2}{{(3 x + 2)}^{5}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{6 {(3 x + 2)}^{4}} + C$