Математический анализ Примеры

$x \cdot \sin (x)$

Этап 1

Запишем $x \cdot \sin (x)$ в виде функции.

$f (x) = x \cdot \sin (x)$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int x \cdot \sin (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \sin (x)$ .

$x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Этап 6.2

Умножим $\int \cos (x) d x$ на $1$ .

$x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Этап 7

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$

Этап 8

Перепишем $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C$ в виде $- x \cos (x) + \sin (x) + C$ .

$- x \cos (x) + \sin (x) + C$

Этап 9

Ответ ― первообразная функции $f (x) = x \cdot \sin (x)$ .

$F (x) =$ $- x \cos (x) + \sin (x) + C$