Математический анализ Примеры

$5 x^{2} (x + 47)$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2} (x + 47)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} (x + 47)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x + 47$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [x + 47] + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x + 47$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]$ .

$5 (x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [47]) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.3

Поскольку $47$ является константой относительно $x$ , производная $47$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (x^{2} (1 + 0) + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$5 (x^{2} \cdot 1 + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.4.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (x^{2} + (x + 47) (2 x))$

Этап 1.3.6

Перенесем $2$ влево от $x + 47$ .

$5 (x^{2} + 2 \cdot (x + 47) x)$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x^{2} + (2 x + 2 \cdot 47) x)$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x^{2} + 2 x \cdot x + 2 \cdot 47 x)$

Этап 1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{2} + 5 (2 x \cdot x) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Этап 1.4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x)) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Этап 1.4.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 (x^{1} x^{1})) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Этап 1.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 x^{2} + 5 (2 x^{1 + 1}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Этап 1.4.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$5 x^{2} + 5 (2 x^{2}) + 5 (2 \cdot 47 x)$

Этап 1.4.4.5

Умножим $2$ на $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (2 \cdot 47 x)$

Этап 1.4.4.6

Умножим $2$ на $47$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 5 (94 x)$

Этап 1.4.4.7

Умножим $94$ на $5$ .

$5 x^{2} + 10 x^{2} + 470 x$

Этап 1.4.4.8

Добавим $5 x^{2}$ и $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + 470 x$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $15 x^{2} + 470 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [470 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [470 x]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [470 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [470 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $470$ является константой относительно $x$ , производная $470 x$ по $x$ равна $470 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x + 470 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$30 x + 470 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $470$ на $1$ .

$f'' (x) = 30 x + 470$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $30 x + 470$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$ .

$\frac{d}{d x} [30 x] + \frac{d}{d x} [470]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [30 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $30$ является константой относительно $x$ , производная $30 x$ по $x$ равна $30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [470]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [470]$

Этап 3.2.3

Умножим $30$ на $1$ .

$30 + \frac{d}{d x} [470]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $470$ является константой относительно $x$ , производная $470$ относительно $x$ равна $0$ .

$30 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $30$ и $0$ .

$f''' (x) = 30$