Математический анализ Примеры

$y = 3 x (x^{3} - 1)$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x (x^{3} - 1)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x (x^{3} - 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (x^{3} - 1)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{3} - 1$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x (3 x^{2} + 0) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$3 (x (3 x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (3 (x^{1} x^{2}) + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (3 x^{1 + 2} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Добавим $1$ и $2$ .

$3 (3 x^{3} + (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (3 x^{3} + (x^{3} - 1) \cdot 1)$

Этап 8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $x^{3} - 1$ на $1$ .

$3 (3 x^{3} + x^{3} - 1)$

Этап 8.2

Добавим $3 x^{3}$ и $x^{3}$ .

$3 (4 x^{3} - 1)$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (4 x^{3}) + 3 \cdot - 1$

Этап 9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + 3 \cdot - 1$

Этап 9.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$12 x^{3} - 3$