Математический анализ Примеры

$y = x^{4} + \frac{1}{2} x^{- 3} + \frac{3}{10} x^{6} - \frac{1}{2} x^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} + \frac{1}{2} x^{- 3} + \frac{3}{10} x^{6} - \frac{1}{2} x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{- 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x^{- 3}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$4 x^{3} + \frac{1}{2} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 3}{2} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{- 3}{2}$ и $x^{- 4}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 3 x^{- 4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.2.5

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x^{3} + \frac{- 3}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $\frac{3}{10}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{10} x^{6}$ по $x$ равна $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{3}{10} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.3.3

Объединим $6$ и $\frac{3}{10}$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{6 \cdot 3}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.3.4

Умножим $6$ на $3$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{18}{10} x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.3.5

Объединим $\frac{18}{10}$ и $x^{5}$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{18 x^{5}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.3.6

Сократим общий множитель $18$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Вынесем множитель $2$ из $18 x^{5}$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.3.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{2 (5)} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.3.6.2.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{2 (9 x^{5})}{2 \cdot 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.3.6.2.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{2} x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - \frac{1}{2} (2 x)$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - 2 (\frac{1}{2}) x$

Этап 1.4.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2}$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- 2}{2} x$

Этап 1.4.5

Объединим $\frac{- 2}{2}$ и $x$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- 2 x}{2}$

Этап 1.4.6

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2}$

Этап 1.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Этап 1.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Этап 1.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} + \frac{- x}{1}$

Этап 1.4.6.2.4

Разделим $- x$ на $1$ .

$4 x^{3} - \frac{3}{2 x^{4}} + \frac{9 x^{5}}{5} - x$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{9 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - x - \frac{3}{2 x^{4}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{9 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - x - \frac{3}{2 x^{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{9 x^{5}}{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{9}{5}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9 x^{5}}{5}$ по $x$ равна $\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{9}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{9}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.3

Объединим $5$ и $\frac{9}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 9}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.4

Умножим $5$ на $9$ .

$\frac{45}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.5

Объединим $\frac{45}{5}$ и $x^{4}$ .

$\frac{45 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.6

Сократим общий множитель $45$ и $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $45 x^{4}$ .

$\frac{5 (9 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$\frac{5 (9 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (9 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.2.6.2.4

Разделим $9 x^{4}$ на $1$ .

$9 x^{4} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 x^{4} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$9 x^{4} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$

Этап 2.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2 x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{2 x^{4}}$ по $x$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Этап 2.5.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.5.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.5.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Этап 2.5.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Этап 2.5.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Этап 2.5.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Этап 2.5.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Этап 2.5.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{3 - 8})$

Этап 2.5.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 - \frac{3}{2} (- 4 x^{- 5})$

Этап 2.5.8

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + 4 (\frac{3}{2}) x^{- 5}$

Этап 2.5.9

Объединим $4$ и $\frac{3}{2}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{4 \cdot 3}{2} x^{- 5}$

Этап 2.5.10

Умножим $4$ на $3$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12}{2} x^{- 5}$

Этап 2.5.11

Объединим $\frac{12}{2}$ и $x^{- 5}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12 x^{- 5}}{2}$

Этап 2.5.12

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{12}{2 x^{5}}$

Этап 2.5.13

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.13.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Этап 2.5.13.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.13.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{5}$ .

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 (x^{5})}$

Этап 2.5.13.2.2

Сократим общий множитель.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{2 \cdot 6}{2 x^{5}}$

Этап 2.5.13.2.3

Перепишем это выражение.

$9 x^{4} + 12 x^{2} - 1 + \frac{6}{x^{5}}$

Этап 2.6

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 9 x^{4} + 12 x^{2} + \frac{6}{x^{5}} - 1$