Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{- x}$ и $g (x) = x^{2} + 2 x$ .

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

Этап 1.4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

Этап 1.4.3.3

Перепишем $- 1 (x^{2} + 2 x)$ в виде $- (x^{2} + 2 x)$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Этап 1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

Этап 1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Этап 1.5.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.1

Перенесем $2$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Этап 1.5.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Этап 1.5.4.3

Вычтем $2 x e^{- x}$ из $e^{- x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.4.3.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Этап 1.5.4.3.2

Вычтем $2 x e^{- x}$ из $2 x e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

Этап 1.5.4.4

Добавим $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ и $0$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

Этап 1.5.5

Изменим порядок членов.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

Этап 1.5.6

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2} e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2} e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Этап 2.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Этап 2.2.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Этап 2.2.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 e^{- x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{- x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 2.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 2.3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) + 2 (- e^{- x})$

Этап 2.3.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x}) + e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - (x^{2} (- e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{2} (e^{- x})) - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Этап 2.4.2.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - (e^{- x} (2 x)) - 2 e^{- x}$

Этап 2.4.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $e^{- x} x^{2} - 2 e^{- x} x - 2 e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x] + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$e^{- x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{- x} (2 x + \frac{d}{d x} [2 x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2 \cdot 1) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.1.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.1.3.2

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.1.4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{- x} (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x) e^{- x} \cdot - 1$

Этап 4.1.4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $(x^{2} + 2 x) e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - 1 \cdot ((x^{2} + 2 x) e^{- x})$

Этап 4.1.4.3.3

Перепишем $- 1 (x^{2} + 2 x)$ в виде $- (x^{2} + 2 x)$ .

$e^{- x} (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - (x^{2} + 2 x) e^{- x}$

Этап 4.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 + (- x^{2} - (2 x)) e^{- x}$

Этап 4.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{- x} (2 x) + e^{- x} \cdot 2 - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Этап 4.1.5.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Перенесем $2$ влево от $e^{- x}$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x} - (2 x) e^{- x}$

Этап 4.1.5.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- x} (2 x) + 2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Этап 4.1.5.4.3

Вычтем $2 x e^{- x}$ из $e^{- x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.3.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} - 2 x e^{- x}$

Этап 4.1.5.4.3.2

Вычтем $2 x e^{- x}$ из $2 x e^{- x}$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x} + 0$

Этап 4.1.5.4.4

Добавим $2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$ и $0$ .

$2 e^{- x} - x^{2} e^{- x}$

Этап 4.1.5.5

Изменим порядок членов.

$- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$

Этап 4.1.5.6

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x^{2} + 2 e^{- x}$ .

$f' (x) = - x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- x^{2} e^{- x} + 2 e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $- x^{2} e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + 2 e^{- x} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $2 e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $e^{- x}$ из $e^{- x} (- x^{2}) + e^{- x} \cdot 2$ .

$e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x^{2} + 2 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{- x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Приравняем $- x^{2} + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $- x^{2} + 2$ к $0$ .

$- x^{2} + 2 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $- x^{2} + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 2$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Этап 5.5.2.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 5.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 5.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 5.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{- x} (- x^{2} + 2) = 0$ верно.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

${(\sqrt{2})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Этап 9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Этап 9.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Этап 9.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2^{1} e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

Этап 9.1.5

Найдем экспоненту.

$2 e^{- (\sqrt{2})} - 2 \sqrt{2} e^{- (\sqrt{2})} - 2 e^{- (\sqrt{2})}$

$2 e^{- \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Этап 9.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $2 e^{- \sqrt{2}}$ из $2 e^{- \sqrt{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ и $0$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Этап 10

$x = \sqrt{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- (\sqrt{2})} ({(\sqrt{2})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (\sqrt{2}))$

Этап 11.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (\sqrt{2}))$

Этап 11.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (\sqrt{2}))$

Этап 11.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

Этап 11.2.1.5

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 (\sqrt{2}))$

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} (2 + 2 \sqrt{2})$

Этап 11.2.2

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\sqrt{2}) = e^{- \sqrt{2}} \cdot 2 + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

Этап 11.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $e^{- \sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot e^{- \sqrt{2}} + e^{- \sqrt{2}} (2 \sqrt{2})$

Этап 11.2.3

Перенесем $2$ влево от $e^{- \sqrt{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$ .

$y = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

${(- \sqrt{2})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$2^{1} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.4.5

Найдем экспоненту.

$2 e^{- (- \sqrt{2})} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.5

Умножим $- (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 e^{1 \sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.5.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} - 2 (- \sqrt{2}) e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- (- \sqrt{2})} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.7

Умножим $- (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{1 \sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.7.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{- (- \sqrt{2})}$

Этап 13.1.8

Умножим $- (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{1 \sqrt{2}}$

Этап 13.1.8.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Этап 13.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Вычтем $2 e^{\sqrt{2}}$ из $2 e^{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} + 0$

Этап 13.2.2

Добавим $2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ и $0$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Этап 14

$x = - \sqrt{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \sqrt{2}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{- (- \sqrt{2})} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $- (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{1 \sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Этап 15.2.1.2

Умножим $\sqrt{2}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Этап 15.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Этап 15.2.2.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (1 {\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Этап 15.2.2.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({\sqrt{2}}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Этап 15.2.2.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Этап 15.2.2.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 2 (- \sqrt{2}))$

Этап 15.2.2.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

Этап 15.2.2.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2^{\frac{2}{2}} + 2 (- \sqrt{2}))$

Этап 15.2.2.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

Этап 15.2.2.4.5

Найдем экспоненту.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 + 2 (- \sqrt{2}))$

Этап 15.2.2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} (2 - 2 \sqrt{2})$

Этап 15.2.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \sqrt{2}) = e^{\sqrt{2}} \cdot 2 + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Этап 15.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{\sqrt{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$ .

$y = 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2})$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = e^{- x} (x^{2} + 2 x)$ .

$(\sqrt{2}, 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 e^{- \sqrt{2}} \sqrt{2})$ — локальный максимум

$(- \sqrt{2}, 2 e^{\sqrt{2}} + e^{\sqrt{2}} (- 2 \sqrt{2}))$ — локальный минимум

Этап 17