Математический анализ Примеры

Найти первообразную квадратный корень из x^2+8x+6
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Чтобы найти функцию , найдем неопределенный интеграл производной .
Этап 3
Составим интеграл, чтобы решить его.
Этап 4
Составим полный квадрат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Применим форму , чтобы найти значения , и .
Этап 4.2
Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.
Этап 4.3
Найдем значение по формуле .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.1
Подставим значения и в формулу .
Этап 4.3.2
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.2.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.3.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.3.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.3.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.3.2.2.4
Разделим на .
Этап 4.4
Найдем значение по формуле .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.1
Подставим значения , и в формулу .
Этап 4.4.2
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.4.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 4.4.2.1.2
Умножим на .
Этап 4.4.2.1.3
Разделим на .
Этап 4.4.2.1.4
Умножим на .
Этап 4.4.2.2
Вычтем из .
Этап 4.5
Подставим значения , и в уравнение с заданной вершиной .
Этап 5
Пусть . Тогда . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1.1
Дифференцируем .
Этап 5.1.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 5.1.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.1.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 5.1.5
Добавим и .
Этап 5.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 6
Пусть , где . Тогда . Заметим, что поскольку , выражение положительно.
Этап 7
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 7.1.1.2
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 7.1.1.2.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 7.1.1.2.3
Объединим и .
Этап 7.1.1.2.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.1.1.2.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.1.1.2.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 7.1.1.2.5
Найдем экспоненту.
Этап 7.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 7.1.5
Применим формулу Пифагора.
Этап 7.1.6
Изменим порядок и .
Этап 7.1.7
Вынесем члены из-под знака корня.
Этап 7.2
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.1
Возведем в степень .
Этап 7.2.2
Возведем в степень .
Этап 7.2.3
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 7.2.4
Добавим и .
Этап 7.2.5
Возведем в степень .
Этап 7.2.6
Возведем в степень .
Этап 7.2.7
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 7.2.8
Добавим и .
Этап 7.2.9
Перепишем в виде .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.9.1
С помощью запишем в виде .
Этап 7.2.9.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 7.2.9.3
Объединим и .
Этап 7.2.9.4
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 7.2.9.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 7.2.9.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 7.2.9.5
Найдем экспоненту.
Этап 7.2.10
Перенесем влево от .
Этап 8
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 9
Возведем в степень .
Этап 10
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 11
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 11.2
Упростим каждый член.
Этап 12
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 13
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 14
Интеграл по имеет вид .
Этап 15
Вынесем множитель из .
Этап 16
Проинтегрируем по частям, используя формулу , где и .
Этап 17
Возведем в степень .
Этап 18
Возведем в степень .
Этап 19
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 20
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 20.1
Добавим и .
Этап 20.2
Изменим порядок и .
Этап 21
Используя формулы Пифагора, запишем в виде .
Этап 22
Упростим путем перемножения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 22.1
Перепишем степенное выражение в виде произведения.
Этап 22.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 22.3
Изменим порядок и .
Этап 23
Возведем в степень .
Этап 24
Возведем в степень .
Этап 25
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 26
Добавим и .
Этап 27
Возведем в степень .
Этап 28
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 29
Добавим и .
Этап 30
Разделим данный интеграл на несколько интегралов.
Этап 31
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 32
Интеграл по имеет вид .
Этап 33
Упростим путем перемножения.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 33.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 33.2
Умножим на .
Этап 34
Найдя решение для , получим = .
Этап 35
Умножим на .
Этап 36
Упростим.
Этап 37
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 37.1
Умножим на .
Этап 37.2
Добавим и .
Этап 37.3
Объединим и .
Этап 37.4
Сократим общий множитель и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 37.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 37.4.2
Сократим общие множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 37.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 37.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 37.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 37.4.2.4
Разделим на .
Этап 38
Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 38.1
Заменим все вхождения на .
Этап 38.2
Заменим все вхождения на .
Этап 39
Изменим порядок членов.
Этап 40
Ответ ― первообразная функции .