Математический анализ Примеры

$y = (3 x^{4} - 7) \cdot (5 x^{2} + 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x^{4} - 7$ и $g (x) = 5 x^{2} + 1$ .

$(3 x^{4} - 7) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1] + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x^{4} - 7) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Этап 2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{4} - 7) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 x^{4} - 7) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $5$ .

$(3 x^{4} - 7) (10 x + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Этап 2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x^{4} - 7) (10 x + 0) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $10 x$ и $0$ .

$(3 x^{4} - 7) (10 x) + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Этап 2.6.2

Перенесем $10$ влево от $3 x^{4} - 7$ .

$10 \cdot (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [3 x^{4} - 7]$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.10

Умножим $4$ на $3$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 7])$

Этап 2.11

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3} + 0)$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Добавим $12 x^{3}$ и $0$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + (5 x^{2} + 1) (12 x^{3})$

Этап 2.12.2

Перенесем $12$ влево от $5 x^{2} + 1$ .

$10 (3 x^{4} - 7) x + 12 \cdot (5 x^{2} + 1) x^{3}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(10 (3 x^{4}) + 10 \cdot - 7) x + 12 (5 x^{2} + 1) x^{3}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2} + 1) x^{3}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + (12 (5 x^{2}) + 12 \cdot 1) x^{3}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$10 (3 x^{4}) x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $3$ на $10$ .

$30 x^{4} x + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$30 (x^{1} x^{4}) + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$30 x^{1 + 4} + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.4

Добавим $1$ и $4$ .

$30 x^{5} + 10 \cdot - 7 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.5

Умножим $10$ на $- 7$ .

$30 x^{5} - 70 x + 12 (5 x^{2}) x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.6

Умножим $5$ на $12$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{2} x^{3} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.7

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 (x^{3} x^{2}) + 12 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{3 + 2} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.7.3

Добавим $3$ и $2$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{5} + 12 \cdot 1 x^{3}$

Этап 3.5.8

Умножим $12$ на $1$ .

$30 x^{5} - 70 x + 60 x^{5} + 12 x^{3}$

Этап 3.5.9

Добавим $30 x^{5}$ и $60 x^{5}$ .

$90 x^{5} - 70 x + 12 x^{3}$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$90 x^{5} + 12 x^{3} - 70 x$