Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.2.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{2} x^{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3}{2} (2 x)$

Этап 1.1.4.3

Объединим $2$ и $\frac{3}{2}$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x$

Этап 1.1.4.4

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6}{2} x$

Этап 1.1.4.5

Объединим $\frac{6}{2}$ и $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{6 x}{2}$

Этап 1.1.4.6

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2}$

Этап 1.1.4.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)}$

Этап 1.1.4.6.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1}$

Этап 1.1.4.6.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{3} + 3 x^{2} + \frac{3 x}{1}$

Этап 1.1.4.6.2.4

Разделим $3 x$ на $1$ .

$f' (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

Этап 1.2.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 6 x + 3$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 6 x + 3$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 6 x + 3 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 6 x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 6 x + 3 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$3 (x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (1) = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1) = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} + 2 x) + 3 (1)$ .

$3 (x^{2} + 2 x + 1) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$3 (x^{2} + 2 x + 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Этап 2.2.2.3

Перепишем многочлен.

$3 (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 2.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.3

Разделим каждый член $3 {(x + 1)}^{2} = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $3 {(x + 1)}^{2} = 0$ на $3$ .

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(x + 1)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим ${(x + 1)}^{2}$ на $1$ .

${(x + 1)}^{2} = \frac{0}{3}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 1$ в $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} \cdot 1 + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2} \cdot 1$

Этап 3.1.2.1.5

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} - 1 + \frac{3}{2}$

Этап 3.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Запишем $- 1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} + \frac{3}{2}$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{3}{2}$

Этап 3.1.2.2.3

Умножим $\frac{- 1}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2}$

Этап 3.1.2.2.4

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 3.1.2.2.5

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Этап 3.1.2.2.6

Умножим $2$ на $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{3 \cdot 2}{4}$

Этап 3.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 1) = \frac{1 - 1 \cdot 4 + 3 \cdot 2}{4}$

Этап 3.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 3 \cdot 2}{4}$

Этап 3.1.2.4.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4 + 6}{4}$

Этап 3.1.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3 + 6}{4}$

Этап 3.1.2.5.2

Добавим $- 3$ и $6$ .

$f (- 1) = \frac{3}{4}$

Этап 3.1.2.6

Окончательный ответ: $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Этап 3.2

Подставляя $- 1$ в $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$ , найдем точку $(- 1, \frac{3}{4})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 1, \frac{3}{4})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 3 {(- 1.1)}^{2} + 6 (- 1.1) + 3$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 1.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 1.1) = 3 \cdot 1.21 + 6 (- 1.1) + 3$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 3.63 + 6 (- 1.1) + 3$

Этап 5.2.1.3

Умножим $6$ на $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 3.63 - 6.6 + 3$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $6.6$ из $3.63$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.97 + 3$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 2.97$ и $3$ .

$f'' (- 1.1) = 0.03$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $0.03$ .

$0.03$

Этап 5.3

При $- 1.1$ вторая производная имеет вид $0.03$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 1)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 1)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 3 {(- 0.9)}^{2} + 6 (- 0.9) + 3$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 0.9$ в степень $2$ .

$f'' (- 0.9) = 3 \cdot 0.81 + 6 (- 0.9) + 3$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $0.81$ .

$f'' (- 0.9) = 2.43 + 6 (- 0.9) + 3$

Этап 6.2.1.3

Умножим $6$ на $- 0.9$ .

$f'' (- 0.9) = 2.43 - 5.4 + 3$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $5.4$ из $2.43$ .

$f'' (- 0.9) = - 2.97 + 3$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 2.97$ и $3$ .

$f'' (- 0.9) = 0.03$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $0.03$ .

$0.03$

Этап 6.3

При $- 0.9$ вторая производная имеет вид $0.03$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 1, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 1, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. На графике нет точек, удовлетворяющих этим требованиям.

Нет точек перегиба