Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{x + 1}{x^{2} + 2 x - 3} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Тогда $d u = (2 x + 2) d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = (x + 1) d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{2} + 2 x - 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 2 x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x - 3]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$2 x + 2$

Этап 1.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{lower} = 0^{2} + 2 \cdot 0 - 3$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$u_{lower} = 0 + 2 \cdot 0 - 3$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2$ на $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 - 3$

Этап 1.3.2

Добавим $0$ и $0$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Этап 1.3.3

Вычтем $3$ из $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Этап 1.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x^{2} + 2 x - 3$ .

$u_{upper} = 1^{2} + 2 \cdot 1 - 3$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$u_{upper} = 1 + 2 \cdot 1 - 3$

Этап 1.5.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$u_{upper} = 1 + 2 - 3$

Этап 1.5.2

Добавим $1$ и $2$ .

$u_{upper} = 3 - 3$

Этап 1.5.3

Вычтем $3$ из $3$ .

$u_{upper} = 0$

Этап 1.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 0$

Этап 1.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\int_{- 3}^{0} \frac{1}{2 u} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{0} \frac{1}{u} d u$

Этап 4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{- 3}^{0}$

Этап 5

Найдем значение $\ln (| u |)$ в $0$ и в $- 3$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| 0 |) - \ln (| - 3 |))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| 0 |}{| - 3 |})}{2}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{| - 3 |})}{2}$

Этап 7.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $- 3$ и $0$ равно $3$ .

$\frac{\ln (\frac{0}{3})}{2}$

Этап 7.3

Разделим $0$ на $3$ .

$\frac{\ln (0)}{2}$

Этап 7.4

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные

$\frac{\ln (0)}{2}$

Этап 8

Натуральный логарифм нуля не определен.

Неопределенные