Математический анализ Примеры

$\sqrt{3 x^{3}}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt{3 x^{3}}]$ в виде $\frac{d}{d x} [x \sqrt{3 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $3 x^{3}$ в виде $x^{2} \cdot (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем $x^{2}$ за скобки.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3 (x^{2} x)}]$

Этап 1.1.2

Изменим порядок $3$ и $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot 3 x}]$

Этап 1.1.3

Добавим круглые скобки.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x^{2} \cdot (3 x)}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [x \sqrt{3 x}]$

Этап 2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x}$ в виде ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x {(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Применим правило умножения к $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [x (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} (x^{1} x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{1 + \frac{1}{2}}]$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}]$

Этап 7.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{2 + 1}{2}}]$

Этап 7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 8

Поскольку $3^{\frac{1}{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Этап 10

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 11

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 12

Объединим числители над общим знаменателем.

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Этап 13.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$3^{\frac{1}{2}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Этап 14

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 15

Объединим $3^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 16

Умножим $3^{\frac{1}{2}}$ на $3$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Перенесем $3$ .

$\frac{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 16.2

Умножим $3$ на $3^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 16.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 16.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 16.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Этап 16.5

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}}{2}$