Математический анализ Примеры

$y = arctanh (1 - 2 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = arctanh (x)$ и $g (x) = 1 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [arctanh (u)] \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Этап 1.2

Производная $arctanh (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 - u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - u^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Этап 2.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}} \cdot 1$

Этап 2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2}{1 - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- \frac{2}{1^{2} - {(1 - 2 x)}^{2}}$

Этап 3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = 1 - 2 x$ .

$- \frac{2}{(1 + 1 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Этап 3.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{2}{(2 - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Этап 3.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $2 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2}{(2 (1) - 2 x) (1 - (1 - 2 x))}$

Этап 3.1.3.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$- \frac{2}{(2 (1) + 2 (- x)) (1 - (1 - 2 x))}$

Этап 3.1.3.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- x)$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - (1 - 2 x))}$

Этап 3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 \cdot 1 - (- 2 x))}$

Этап 3.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 - (- 2 x))}$

Этап 3.1.3.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (1 - 1 + 2 x)}$

Этап 3.1.3.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) (0 + 2 x)}$

Этап 3.1.3.7

Добавим $0$ и $2 x$ .

$- \frac{2}{2 (1 - x) \cdot 2 x}$

Этап 3.1.3.8

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{2}{4 (1 - x) x}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{2 (1)}{4 (1 - x) x}$

Этап 3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 (1 - x) x$ .

$- \frac{2 (1)}{2 (2 (1 - x) x)}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 (2 (1 - x) x)}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2 (1 - x) x}$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{2 (1 - x) x}$ .

$- \frac{1}{2 x (1 - x)}$