Математический анализ Примеры

$\int 3 x (3 x + 2) (4 x - 1) d x$

Этап 1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int (x (3 x + 2)) (4 x - 1) d x$

Этап 2

Пусть $u = 4 x - 1$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = 4 x - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $4 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

$4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 + 0$

Этап 2.1.4.2

Добавим $4$ и $0$ .

$4$

$4$

$4$

Этап 2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$3 \int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) + 2) u \frac{1}{4} d u$

$3 \int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) + 2) u \frac{1}{4} d u$

Этап 3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $u$ .

$3 \int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (3 (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) + 2) \frac{u}{4} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \int (\frac{u}{4} + \frac{1}{4}) (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) + 2) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) + 2) + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) + 2)) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 2 + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) + 2)) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 2 + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) + 2)) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 2 + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{4} \cdot 2) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 2 + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{4} \cdot 2) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{u}{4} \cdot 2) \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{4} \cdot 2) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.8

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \int (\frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4}))) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{4} \cdot 2) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.9

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) + \frac{1}{4} \cdot 2) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} + (\frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4}))) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Этап 4.11

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \int \frac{u}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Этап 4.12

Изменим порядок $\frac{u}{4}$ и $3$ .

$3 \int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Этап 4.13

Изменим порядок $\frac{u}{4}$ и $3$ .

$3 \int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + \frac{u}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Этап 4.14

Изменим порядок $\frac{u}{4}$ и $2$ .

$3 \int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 \frac{u}{4}) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Этап 4.15

Изменим порядок $\frac{1}{4}$ и $3$ .

$3 \int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} (3 (\frac{1}{4})) \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Этап 4.16

Изменим порядок $\frac{1}{4}$ и $3$ .

$3 \int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + \frac{1}{4} \cdot 2 \frac{u}{4} d u$

Этап 4.17

Изменим порядок $\frac{1}{4}$ и $2$ .

$3 \int 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \cdot \frac{1}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \cdot \frac{1}{4} \frac{u}{4} d u$

Этап 4.18

Объединим $3$ и $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.19

Умножим $\frac{3 u}{4}$ на $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u \cdot u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.20

Возведем $u$ в степень $1$ .

$3 \int \frac{3 (u^{1} u)}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.21

Возведем $u$ в степень $1$ .

$3 \int \frac{3 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.22

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \int \frac{3 u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.23

Добавим $1$ и $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{2}}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.24

Умножим $4$ на $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{2}}{16} \cdot \frac{u}{4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.25

Умножим $\frac{3 u^{2}}{16}$ на $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{2} u}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.26

Возведем $u$ в степень $1$ .

$3 \int \frac{3 (u^{2} u^{1})}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.27

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \int \frac{3 u^{2 + 1}}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.28

Добавим $2$ и $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{16 \cdot 4} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.29

Умножим $16$ на $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + 3 \frac{u}{4} \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.30

Объединим $3$ и $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u}{4} \cdot \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.31

Умножим $\frac{3 u}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.32

Умножим $4$ на $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u}{16} \cdot \frac{u}{4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.33

Умножим $\frac{3 u}{16}$ на $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u \cdot u}{16 \cdot 4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.34

Возведем $u$ в степень $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 (u^{1} u)}{16 \cdot 4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.35

Возведем $u$ в степень $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 (u^{1} u^{1})}{16 \cdot 4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.36

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{1 + 1}}{16 \cdot 4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.37

Добавим $1$ и $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{16 \cdot 4} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.38

Умножим $16$ на $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + 2 \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.39

Объединим $2$ и $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u}{4} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.40

Умножим $\frac{2 u}{4}$ на $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u \cdot u}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.41

Возведем $u$ в степень $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 (u^{1} u)}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.42

Возведем $u$ в степень $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 (u^{1} u^{1})}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.43

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{1 + 1}}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.44

Добавим $1$ и $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{2}}{4 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.45

Умножим $4$ на $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{2}}{16} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.46

Чтобы записать $\frac{2 u^{2}}{16}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{2}}{16} \cdot \frac{4}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.47

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $64$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.47.1

Умножим $\frac{2 u^{2}}{16}$ на $\frac{4}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{2} \cdot 4}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.47.2

Умножим $16$ на $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{2} \cdot 4}{64} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{2 u^{2} \cdot 4}{64} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.48

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \int \frac{3 u^{3}}{64} + \frac{3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.49

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.50

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3}{4} \cdot \frac{u}{4} \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.51

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.52

Умножим $4$ на $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u}{16} \cdot \frac{u}{4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.53

Умножим $\frac{3 u}{16}$ на $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u \cdot u}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.54

Возведем $u$ в степень $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 (u^{1} u)}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.55

Возведем $u$ в степень $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 (u^{1} u^{1})}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.56

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{1 + 1}}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.57

Добавим $1$ и $1$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{16 \cdot 4} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.58

Умножим $16$ на $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + 3 (\frac{1}{4}) \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.59

Объединим $3$ и $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{4} \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.60

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3}{4 \cdot 4} \cdot \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.61

Умножим $4$ на $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3}{16} \cdot \frac{u}{4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.62

Умножим $\frac{3}{16}$ на $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{16 \cdot 4} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.63

Умножим $16$ на $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + 2 (\frac{1}{4}) \frac{u}{4} d u$

Этап 4.64

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2}{4} \cdot \frac{u}{4} d u$

Этап 4.65

Умножим $\frac{2}{4}$ на $\frac{u}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2 u}{4 \cdot 4} d u$

Этап 4.66

Умножим $4$ на $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2 u}{16} d u$

Этап 4.67

Чтобы записать $\frac{2 u}{16}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2 u}{16} \cdot \frac{4}{4} d u$

Этап 4.68

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $64$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.68.1

Умножим $\frac{2 u}{16}$ на $\frac{4}{4}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2 u \cdot 4}{16 \cdot 4} d u$

Этап 4.68.2

Умножим $16$ на $4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2 u \cdot 4}{64} d u$

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u}{64} + \frac{2 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 4.69

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2}}{64} + \frac{3 u + 2 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 4.70

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4}{64} + \frac{3 u^{2} + 3 u + 2 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 4.71

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4 + 3 u^{2} + 3 u + 2 u \cdot 4}{64} d u$

Этап 4.72

Изменим порядок $3 u$ и $2 u \cdot 4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4 + 3 u^{2} + 2 u \cdot 4 + 3 u}{64} d u$

Этап 4.73

Перенесем $2 u^{2} \cdot 4$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 3 u^{2} + 3 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4 + 2 u \cdot 4 + 3 u}{64} d u$

Этап 4.74

Добавим $3 u^{2}$ и $3 u^{2}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 6 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4 + 2 u \cdot 4 + 3 u}{64} d u$

$3 \int \frac{3 u^{3} + 6 u^{2} + 2 u^{2} \cdot 4 + 2 u \cdot 4 + 3 u}{64} d u$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $4$ на $2$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 6 u^{2} + 8 u^{2} + 2 u \cdot 4 + 3 u}{64} d u$

Этап 5.2

Добавим $6 u^{2}$ и $8 u^{2}$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 14 u^{2} + 2 u \cdot 4 + 3 u}{64} d u$

Этап 5.3

Умножим $4$ на $2$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 14 u^{2} + 8 u + 3 u}{64} d u$

Этап 5.4

Добавим $8 u$ и $3 u$ .

$3 \int \frac{3 u^{3} + 14 u^{2} + 11 u}{64} d u$

$3 \int \frac{3 u^{3} + 14 u^{2} + 11 u}{64} d u$

Этап 6

Поскольку $\frac{1}{64}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{64}$ из-под знака интеграла.

$3 (\frac{1}{64} \int 3 u^{3} + 14 u^{2} + 11 u d u)$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{64}$ и $3$ .

$\frac{3}{64} \int 3 u^{3} + 14 u^{2} + 11 u d u$

Этап 8

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{3}{64} (\int 3 u^{3} d u + \int 14 u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Этап 9

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{64} (3 \int u^{3} d u + \int 14 u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{3}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + \int 14 u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Этап 11

Поскольку $14$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $14$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 14 \int u^{2} d u + \int 11 u d u)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{3}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 14 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int 11 u d u)$

Этап 13

Поскольку $11$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $11$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 14 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 11 \int u d u)$

Этап 14

По правилу степени интеграл $u$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{3}{64} (3 (\frac{1}{4} u^{4} + C) + 14 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + 11 (\frac{1}{2} u^{2} + C))$

Этап 15

Упростим.

$\frac{3}{64} (\frac{3 u^{4}}{4} + \frac{14 u^{3}}{3} + \frac{11 u^{2}}{2}) + C$

Этап 16

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 1$ .

$\frac{3}{64} (\frac{3 {(4 x - 1)}^{4}}{4} + \frac{14 {(4 x - 1)}^{3}}{3} + \frac{11 {(4 x - 1)}^{2}}{2}) + C$

Этап 17

Изменим порядок членов.

$\frac{3}{64} (\frac{3}{4} {(4 x - 1)}^{4} + \frac{14}{3} {(4 x - 1)}^{3} + \frac{11}{2} {(4 x - 1)}^{2}) + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$