Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{3} \frac{3}{2} \sqrt{x + 1} d x$

Этап 1

Поскольку $\frac{3}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{3}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{3}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{x + 1} d x$

Этап 2

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 2.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $1$ .

$u_{lower} = 1$

Этап 2.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = x + 1$ .

$u_{upper} = 3 + 1$

Этап 2.5

Добавим $3$ и $1$ .

$u_{upper} = 4$

Этап 2.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Этап 2.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} \sqrt{u} d u$

Этап 3

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}$

Этап 5

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем значение $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ в $4$ и в $1$ .

$\frac{3}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 2^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{3} \cdot 8 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.5

Объединим $\frac{2}{3}$ и $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.6

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Этап 5.2.7

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Этап 5.2.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{3}{2} (\frac{16}{3} - \frac{2}{3})$

Этап 5.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{16 - 2}{3}$

Этап 5.2.10

Вычтем $2$ из $16$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{14}{3}$

Этап 5.2.11

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 3}$

Этап 5.2.12

Умножим $3$ на $14$ .

$\frac{42}{2 \cdot 3}$

Этап 5.2.13

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{42}{6}$

Этап 5.2.14

Сократим общий множитель $42$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.14.1

Вынесем множитель $6$ из $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Этап 5.2.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.14.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Этап 5.2.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Этап 5.2.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{1}$

Этап 5.2.14.2.4

Разделим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 6