Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{2} (4 x + 5) e^{- x} d x$

Этап 1

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = 4 x + 5$ и $d v = e^{- x}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - e^{- x} \cdot 4 d x$

Этап 2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} - 4 e^{- x} d x$

Этап 3

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - (- 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x)$

Этап 4

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Этап 5

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5.2

Подставим нижнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$u_{lower} = 0$

Этап 5.4

Подставим верхнее предельное значение вместо $x$ в $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Этап 5.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Этап 5.6

Значения, найденные для $u_{lower}$ и $u_{upper}$ , будут использованы для вычисления данного определенного интеграла.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Этап 5.7

Переформулируем задачу, используя $u$ , $d u$ и новые пределы интегрирования.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} + 4 (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $4$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Этап 8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$(4 x + 5) (- e^{- x})]_{0}^{2} - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Этап 9

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Найдем значение $(4 x + 5) (- e^{- x})$ в $2$ и в $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 (e^{u}]_{0}^{- 2})$

Этап 9.2

Найдем значение $e^{u}$ в $- 2$ и в $0$ .

$((4 \cdot 2 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2})) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $4$ на $2$ .

$(8 + 5) (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 9.3.2

Добавим $8$ и $5$ .

$13 (- e^{- 1 \cdot 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 9.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$13 (- e^{- 2}) - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 9.3.4

Умножим $- 1$ на $13$ .

$- 13 e^{- 2} - (4 \cdot 0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 9.3.5

Умножим $4$ на $0$ .

$- 13 e^{- 2} - (0 + 5) (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 9.3.6

Добавим $0$ и $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 1 \cdot 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 9.3.7

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{- 0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 9.3.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- e^{0}) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 9.3.9

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 (- 1 \cdot 1) - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 9.3.10

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 13 e^{- 2} - 5 \cdot - 1 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 9.3.11

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 ((e^{- 2}) - e^{0})$

Этап 9.3.12

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Этап 9.3.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 13 e^{- 2} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 13 \frac{1}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Этап 10.1.2

Объединим $- 13$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{- 13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Этап 10.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 (e^{- 2} - 1)$

Этап 10.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} - 4 \cdot - 1$

Этап 10.1.5

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 e^{- 2} + 4$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - 4 \frac{1}{e^{2}} + 4$

Этап 10.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 + \frac{- 4}{e^{2}} + 4$

Этап 10.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{13}{e^{2}} + 5 - \frac{4}{e^{2}} + 4$

Этап 10.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 + 4 + \frac{- 13 - 4}{e^{2}}$

Этап 10.4

Вычтем $4$ из $- 13$ .

$5 + 4 + \frac{- 17}{e^{2}}$

Этап 10.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$5 + 4 - \frac{17}{e^{2}}$

Этап 10.6

Добавим $5$ и $4$ .

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$9 - \frac{17}{e^{2}}$

Десятичная форма:

$6.69930018 \dots$

Этап 12