Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot 2 k$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $k$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 5}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) = \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k) - \sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $2$ за символ суммирования.

$(2) \sum_{k = 1}^{12} {(- 1)}^{k} k$

Этап 2.2

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + \dots + {(- 1)}^{12} \cdot (2 \cdot 12)$

Этап 2.3

Упростим расширенную форму.

$12$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{4} {(- 1)}^{k} \cdot (2 k)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

${(- 1)}^{1} \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$- 1 \cdot (2 \cdot 1) + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $1$ .

$- 1 \cdot 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 + {(- 1)}^{2} \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- 2 + 1 \cdot (2 \cdot 2) + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2.5

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 + 1 \cdot 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2.6

Умножим $1$ на $4$ .

$- 2 + 4 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2.7

Добавим $- 2$ и $4$ .

$2 + {(- 1)}^{3} \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$2 - 1 \cdot (2 \cdot 3) + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2.9

Умножим $2$ на $3$ .

$2 - 1 \cdot 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2.10

Умножим $- 1$ на $6$ .

$2 - 6 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2.11

Вычтем $6$ из $2$ .

$- 4 + {(- 1)}^{4} \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2.12

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- 4 + 1 \cdot (2 \cdot 4)$

Этап 3.2.13

Умножим $2$ на $4$ .

$- 4 + 1 \cdot 8$

Этап 3.2.14

Умножим $1$ на $8$ .

$- 4 + 8$

Этап 3.2.15

Добавим $- 4$ и $8$ .

$4$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$12 - 4$

Этап 5

Вычтем $4$ из $12$ .

$8$