Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{(x - 3) (x^{2} - 2)}{x^{2} + 1}$

Этап 1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} (x - 3) (x^{2} - 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Этап 2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 3 \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 2}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Этап 3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{(lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 2}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Этап 4

Найдем предел $3$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 1} x^{2} - 2}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot (lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Этап 6

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Этап 7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} + 1}$

Этап 8

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 1}$

Этап 9

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 1}$

Этап 10

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{(lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}$

Этап 11

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{(1 - 1 \cdot 3) \cdot ({(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 2)}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}$

Этап 11.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{(1 - 1 \cdot 3) \cdot (1^{2} - 1 \cdot 2)}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 1}$

Этап 11.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{(1 - 1 \cdot 3) \cdot (1^{2} - 1 \cdot 2)}{1^{2} + 1}$

Этап 12

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{(1 - 3) (1^{2} - 1 \cdot 2)}{1^{2} + 1}$

Этап 12.1.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{- 2 (1^{2} - 1 \cdot 2)}{1^{2} + 1}$

Этап 12.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 2 (1 - 1 \cdot 2)}{1^{2} + 1}$

Этап 12.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2 (1 - 2)}{1^{2} + 1}$

Этап 12.1.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{1^{2} + 1}$

Этап 12.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{1 + 1}$

Этап 12.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{2}$

Этап 12.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2}{2}$

Этап 12.4

Разделим $2$ на $2$ .

$1$