Математический анализ Примеры

$- (x + 1) {(x - 1)}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) ((x - 1) (x - 1))]$

Этап 2

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - x - x + 1)]$

Этап 3.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Этап 4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x + 1) (x^{2} - 2 x + 1)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x + 1$ и $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$- ((x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- ((x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 6.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 6.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 6.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 6.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 6.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

Этап 6.8

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 6.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 6.10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0))$

Этап 6.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1)$

Этап 6.11.2

Умножим $x^{2} - 2 x + 1$ на $1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 2) + x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- ((x + 1) (2 x - 2)) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- ((x + 1) (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + (x + 1) \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x (2 x) + 1 (2 x) + x \cdot - 2 + 1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x (2 x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (2 (x^{1} x)) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- (2 (x^{1} x^{1})) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- (2 x^{1 + 1}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- (2 x^{2}) - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} - (1 (2 x)) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.6

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 x^{2} - (2 x) - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (x \cdot - 2) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.8

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$- 2 x^{2} - 2 x - (- 2 \cdot x) - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.9

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - (1 \cdot - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.10

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x - - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.11

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$- 2 x^{2} - 2 x + 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.12

Добавим $- 2 x$ и $2 x$ .

$- 2 x^{2} + 0 + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.13

Добавим $- 2 x^{2}$ и $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.14

Вычтем $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 2 - (- 2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.15

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1 \cdot 1$

Этап 7.6.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 + 2 x - 1$

Этап 7.6.17

Вычтем $1$ из $2$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$