Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.1.1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.1.1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.1.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.1.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.1.1.2.5.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.1.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{\frac{1}{3}})$

Этап 1.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Этап 1.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 1.1.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.1.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.1.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 1.1.1.3.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 1.1.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 1.1.1.3.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - 4 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.1.1.3.9

Объединим $- 4$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 4 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.1.1.3.10

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.1.3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.1.4.2

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.4

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.9.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.11

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.12

Объединим $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.13

Умножим $x^{- \frac{2}{3}}$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.13.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.13.3

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.13.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.14

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.15

Умножим $\frac{2}{3}$ на $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 (3 x^{\frac{4}{3}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.2.16

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 1.1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Поскольку $- \frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 1.1.2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Этап 1.1.2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Этап 1.1.2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Этап 1.1.2.3.4

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 1.1.2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 1.1.2.3.5.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.5.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 1.1.2.3.5.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 1.1.2.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 1.1.2.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Этап 1.1.2.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 1.1.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 1.1.2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Этап 1.1.2.3.9.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Этап 1.1.2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Этап 1.1.2.3.11

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 1.1.2.3.12

Объединим $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Этап 1.1.2.3.13

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $x^{- \frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.13.1

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Этап 1.1.2.3.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 1.1.2.3.13.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Этап 1.1.2.3.13.4

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Этап 1.1.2.3.13.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Этап 1.1.2.3.14

Перенесем $x^{- \frac{5}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Этап 1.1.2.3.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.1.2.3.16

Умножим $\frac{4}{3}$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.1.2.3.17

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Этап 1.1.2.3.18

Умножим $4$ на $2$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Этап 1.1.2.3.19

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 1.1.2.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

Этап 1.2.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$

Этап 1.2.2.2

Since $9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ .

Этап 1.2.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.2.2.4

У $9$ есть множители: $3$ и $3$ .

$3 \cdot 3$

Этап 1.2.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.2.2.6

НОК $9, 9, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3 \cdot 3$

Этап 1.2.2.7

Умножим $3$ на $3$ .

$9$

Этап 1.2.2.8

НОК $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{4}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{5}{3}}$

Этап 1.2.2.9

НОК $9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{4}{3}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $9$ и переменной части.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Этап 1.2.3

Каждый член в $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ умножим на $9 x^{\frac{5}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Умножим каждый член $\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ на $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 1.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 1.2.3.2.1.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 1.2.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 1.2.3.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 1.2.3.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$8 - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 1.2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $x^{\frac{4}{3}} \cdot 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ в числитель.

$8 + \frac{- 2}{9 x^{\frac{4}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 1.2.3.2.1.4.2

Вынесем множитель $x^{\frac{4}{3}} \cdot 9$ из $9 x^{\frac{4}{3}}$ .

$8 + \frac{- 2}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 (1)} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 1.2.3.2.1.4.3

Вынесем множитель $x^{\frac{4}{3}} \cdot 9$ из $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$8 + \frac{- 2}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 (1)} (x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 (x^{\frac{1}{3}})) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 1.2.3.2.1.4.4

Сократим общий множитель.

$8 + \frac{- 2}{x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 \cdot 1} (x^{\frac{4}{3}} \cdot 9 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 1.2.3.2.1.4.5

Перепишем это выражение.

$8 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 1.2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Умножим $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1.1

Умножим $9$ на $0$ .

$8 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Этап 1.2.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{5}{3}}$ .

$8 - 2 x^{\frac{1}{3}} = 0$

Этап 1.2.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = - 8$

Этап 1.2.4.2

Возведем обе части уравнения в степень $3$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 8)}^{3}$

Этап 1.2.4.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1.1

Упростим ${(- 2 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1.1.1

Применим правило умножения к $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ .

${(- 2)}^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 8)}^{3}$

Этап 1.2.4.3.1.1.2

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$- 8 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 8)}^{3}$

Этап 1.2.4.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 8)}^{3}$

Этап 1.2.4.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$- 8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 8)}^{3}$

Этап 1.2.4.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$- 8 x^{1} = {(- 8)}^{3}$

Этап 1.2.4.3.1.1.4

Упростим.

$- 8 x = {(- 8)}^{3}$

Этап 1.2.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.2.1

Возведем $- 8$ в степень $3$ .

$- 8 x = - 512$

Этап 1.2.4.4

Разделим каждый член $- 8 x = - 512$ на $- 8$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Разделим каждый член $- 8 x = - 512$ на $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 512}{- 8}$

Этап 1.2.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 512}{- 8}$

Этап 1.2.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 512}{- 8}$

Этап 1.2.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.3.1

Разделим $- 512$ на $- 8$ .

$x = 64$

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = x^{\frac{2}{3}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt[3]{x^{2}} - 4 x^{\frac{1}{3}}$

Этап 2.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x^{1}}$

Этап 2.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\sqrt[3]{x^{2}} - 4 \sqrt[3]{x}$

Этап 2.2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

Создадим интервалы вокруг значений $x$ , в которых вторая производная равна нулю или не определена.

$(- \infty, 64) \cup (64, \infty)$

Этап 4

Подставим любое число из интервала $(- \infty, 64)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель.

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.3.2

Перепишем это выражение.

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0^{5}} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{9 \cdot 0} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.4.2

Умножим $9$ на $0$ .

$f'' (0) = \frac{8}{0} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.4.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

$f'' (0) = Undefined$

$f'' (0) = \frac{8}{0} - \frac{2}{9 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 4.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

$f'' (0) = Undefined$

Этап 4.6

График вогнут вверх на интервале $(- \infty, 64)$ , поскольку $f'' (0)$ имеет положительное значение.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, 64)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Этап 5

Подставим любое число из интервала $(64, \infty)$ в выражение для второй производной и вычислим выпуклость.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $66$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 {(66)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 {(66)}^{\frac{4}{3}}}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Избавимся от скобок.

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}}$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $- \frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{66^{\frac{1}{3}}}{66^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}} \cdot \frac{66^{\frac{1}{3}}}{66^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Умножим $\frac{2}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}}}$ на $\frac{66^{\frac{1}{3}}}{66^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{4}{3}} \cdot 66^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5.2.3.2

Умножим $66^{\frac{4}{3}}$ на $66^{\frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Перенесем $66^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot (66^{\frac{1}{3}} \cdot 66^{\frac{4}{3}})}$

Этап 5.2.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{1}{3} + \frac{4}{3}}}$

Этап 5.2.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{1 + 4}{3}}}$

Этап 5.2.3.2.4

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (66) = \frac{8}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}} - \frac{2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (66) = \frac{8 - 2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $\frac{8 - 2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{8 - 2 \cdot 66^{\frac{1}{3}}}{9 \cdot 66^{\frac{5}{3}}}$

Этап 5.3

График вогнут вниз на интервале $(64, \infty)$ , поскольку $f'' (66)$ имеет отрицательное значение.

Вогнутость вниз на интервале $(64, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 6

График вогнут вниз, когда вторая производная отрицательна, и вогнут вверх, когда вторая производная положительна.

Вогнутость вверх на интервале $(- \infty, 64)$ , поскольку $f'' (x)$ больше нуля

Вогнутость вниз на интервале $(64, \infty)$ , поскольку $f'' (x)$ меньше нуля

Этап 7