Математический анализ Примеры

$\int (\frac{2}{3} x^{5} - \frac{5}{2} x + \frac{1}{2}) d x$

Этап 1

Избавимся от скобок.

$\int \frac{2}{3} x^{5} - \frac{5}{2} x + \frac{1}{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{3} x^{5} d x + \int - \frac{5}{2} x d x + \int \frac{1}{2} d x$

Этап 3

Поскольку $\frac{2}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{2}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} \int x^{5} d x + \int - \frac{5}{2} x d x + \int \frac{1}{2} d x$

Этап 4

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int - \frac{5}{2} x d x + \int \frac{1}{2} d x$

Этап 5

Поскольку $- \frac{5}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- \frac{5}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{6} x^{6} + C) - \frac{5}{2} \int x d x + \int \frac{1}{2} d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{6} x^{6} + C) - \frac{5}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int \frac{1}{2} d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{2}{3} (\frac{1}{6} x^{6} + C) - \frac{5}{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \frac{1}{2} x + C$

Этап 8

Упростим.

$\frac{x^{6}}{9} - \frac{5 x^{2}}{4} + \frac{1}{2} x + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{9} x^{6} - \frac{5}{4} x^{2} + \frac{1}{2} x + C$