Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \sin (3 x)}{\tan (5 x)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (3 x)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Этап 1.1.2.3

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Этап 1.1.2.4

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} x + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + \sin (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$\frac{0 + \sin (3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Этап 1.1.2.6.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Этап 1.1.2.6.2

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (5 x)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{0}{\tan (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{0}{\tan (5 \cdot 0)}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Этап 1.1.3.3.2

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \sin (3 x)}{\tan (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + \sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 x + \sin (3 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3.4.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3.4.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3.4.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \cos (3 x) (3 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3.4.4

Умножим $3$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + \cos (3 x) \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3.4.5

Перенесем $3$ влево от $\cos (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (5 x)]}$

Этап 1.3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Этап 1.3.5.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Этап 1.3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\sec^{2} (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Этап 1.3.6

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\sec^{2} (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\sec^{2} (5 x) (5 \cdot 1)}$

Этап 1.3.8

Умножим $5$ на $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\sec^{2} (5 x) \cdot 5}$

Этап 1.3.9

Перенесем $5$ влево от $\sec^{2} (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{5 \sec^{2} (5 x)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{5}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{2 + 3 \cos (3 x)}{\sec^{2} (5 x)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 + 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Этап 2.4

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Этап 2.5

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 lim_{x \to 0} \cos (3 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Этап 2.6

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Этап 2.7

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (5 x)}$

Этап 2.8

Вынесем степень $2$ в выражении $\sec^{2} (5 x)$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (5 x))}^{2}}$

Этап 2.9

Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Этап 2.10

Вынесем член $5$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (3 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\sec^{2} (5 lim_{x \to 0} x)}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (3 \cdot 0)}{\sec^{2} (5 \cdot 0)}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cos (0)}{\sec^{2} (5 \cdot 0)}$

Этап 4.1.2

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 1}{\sec^{2} (5 \cdot 0)}$

Этап 4.1.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2 + 3}{\sec^{2} (5 \cdot 0)}$

Этап 4.1.4

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{\sec^{2} (5 \cdot 0)}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{\sec^{2} (0)}$

Этап 4.2.2

Точное значение $\sec (0)$ : $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{1^{2}}$

Этап 4.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{1}$

Этап 4.3

Разделим $5$ на $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot 5$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{5} \cdot 5$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$1$