Математический анализ Примеры

$\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$

Этап 2

Чтобы найти функцию $F (x)$ , найдем неопределенный интеграл производной $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Этап 3

Составим интеграл, чтобы решить его.

$F (x) = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}} d x$

Этап 4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 - x) (1 + x)}} d x$

Этап 5

Составим полный квадрат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Развернем $(1 - x) (1 + x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 + x) - x (1 + x)$

Этап 5.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 x - x (1 + x)$

Этап 5.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Этап 5.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Этап 5.1.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$1 + x - x \cdot 1 - x \cdot x$

Этап 5.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 + x - x - x \cdot x$

Этап 5.1.2.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$1 + x - x - (x \cdot x)$

Этап 5.1.2.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$1 + x - x - x^{2}$

Этап 5.1.2.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$1 + 0 - x^{2}$

Этап 5.1.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$1 - x^{2}$

Этап 5.1.3

Изменим порядок $1$ и $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 1$

Этап 5.2

Применим форму $a x^{2} + b x + c$ , чтобы найти значения $a$ , $b$ и $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Этап 5.3

Рассмотрим параболу в форме с выделенной вершиной.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Этап 5.4

Найдем значение $d$ по формуле $d = \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Этап 5.4.2.1.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Этап 5.4.2.2

Перепишем $- 1 \cdot 0$ в виде $- 0$ .

$d = - 0$

Этап 5.4.2.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$d = 0$

Этап 5.5

Найдем значение $e$ по формуле $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Подставим значения $c$ , $b$ и $a$ в формулу $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Этап 5.5.2.1.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Этап 5.5.2.1.3

Разделим $0$ на $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Этап 5.5.2.1.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$e = 1 + 0$

Этап 5.5.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$e = 1$

Этап 5.6

Подставим значения $a$ , $d$ и $e$ в уравнение с заданной вершиной $- {(x + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x + 0)}^{2} + 1}} d x$

Этап 6

Пусть $u = x + 0$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = x + 0$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Дифференцируем $x + 0$ .

$\frac{d}{d x} [x + 0]$

Этап 6.1.2

По правилу суммы производная $x + 0$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [0]$

Этап 6.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [0]$

Этап 6.1.4

Поскольку $0$ является константой относительно $x$ , производная $0$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

Этап 7.2

Изменим порядок $- u^{2}$ и $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Этап 8

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ по $u$ имеет вид $\arcsin (u)$ .

$\arcsin (u) + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $x + 0$ .

$\arcsin (x + 0) + C$

Этап 10

Добавим $x$ и $0$ .

$\arcsin (x) + C$

Этап 11

Ответ ― первообразная функции $f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x} \sqrt{1 + x}}$ .

$F (x) =$ $\arcsin (x) + C$