Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{1}{12}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{12} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{12} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{12}$ .

$\frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Этап 1.1.2.4

Объединим $\frac{4}{12}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Этап 1.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Этап 1.1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Этап 1.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Этап 1.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [40 x^{2}]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [40 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $40 x^{2}$ по $x$ равна $40 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + 40 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + 40 (2 x)$

Этап 1.1.4.3

Умножим $2$ на $40$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + 80 x$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{3} + 9 x^{2} + 80 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3}}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Этап 1.2.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Этап 1.2.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Этап 1.2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Этап 1.2.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{2}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} + 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [80 x]$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $9$ .

$x^{2} + 18 x + \frac{d}{d x} [80 x]$

Этап 1.2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [80 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Поскольку $80$ является константой относительно $x$ , производная $80 x$ по $x$ равна $80 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 18 x + 80 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} + 18 x + 80 \cdot 1$

Этап 1.2.4.3

Умножим $80$ на $1$ .

$f'' (x) = x^{2} + 18 x + 80$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} + 18 x + 80$ .

$x^{2} + 18 x + 80$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} + 18 x + 80 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$x^{2} + 18 x + 80 = 0$

Этап 2.2

Разложим $x^{2} + 18 x + 80$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $80$ , а сумма — $18$ .

$8, 10$

Этап 2.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 8) (x + 10) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 8 = 0$

$x + 10 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 2.4.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 2.5

Приравняем $x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 10$ к $0$ .

$x + 10 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x = - 10$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 8) (x + 10) = 0$ верно.

$x = - 8, - 10$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 8$ в $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 8$ .

$f (- 8) = \frac{1}{12} \cdot {(- 8)}^{4} + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведем $- 8$ в степень $4$ .

$f (- 8) = \frac{1}{12} \cdot 4096 + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f (- 8) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 4096 + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $4096$ .

$f (- 8) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 1024) + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- 8) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 1024) + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- 8) = \frac{1}{3} \cdot 1024 + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $1024$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + 3 {(- 8)}^{3} + 40 {(- 8)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.4

Возведем $- 8$ в степень $3$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + 3 \cdot - 512 + 40 {(- 8)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.5

Умножим $3$ на $- 512$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} - 1536 + 40 {(- 8)}^{2}$

Этап 3.1.2.1.6

Возведем $- 8$ в степень $2$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} - 1536 + 40 \cdot 64$

Этап 3.1.2.1.7

Умножим $40$ на $64$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} - 1536 + 2560$

Этап 3.1.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Запишем $- 1536$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536}{1} + 2560$

Этап 3.1.2.2.2

Умножим $\frac{- 1536}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2560$

Этап 3.1.2.2.3

Умножим $\frac{- 1536}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536 \cdot 3}{3} + 2560$

Этап 3.1.2.2.4

Запишем $2560$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536 \cdot 3}{3} + \frac{2560}{1}$

Этап 3.1.2.2.5

Умножим $\frac{2560}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536 \cdot 3}{3} + \frac{2560}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.1.2.2.6

Умножим $\frac{2560}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 8) = \frac{1024}{3} + \frac{- 1536 \cdot 3}{3} + \frac{2560 \cdot 3}{3}$

Этап 3.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 8) = \frac{1024 - 1536 \cdot 3 + 2560 \cdot 3}{3}$

Этап 3.1.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.4.1

Умножим $- 1536$ на $3$ .

$f (- 8) = \frac{1024 - 4608 + 2560 \cdot 3}{3}$

Этап 3.1.2.4.2

Умножим $2560$ на $3$ .

$f (- 8) = \frac{1024 - 4608 + 7680}{3}$

Этап 3.1.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Вычтем $4608$ из $1024$ .

$f (- 8) = \frac{- 3584 + 7680}{3}$

Этап 3.1.2.5.2

Добавим $- 3584$ и $7680$ .

$f (- 8) = \frac{4096}{3}$

Этап 3.1.2.6

Окончательный ответ: $\frac{4096}{3}$ .

$\frac{4096}{3}$

Этап 3.2

Подставляя $- 8$ в $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ , найдем точку $(- 8, \frac{4096}{3})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 8, \frac{4096}{3})$

Этап 3.3

Подставим $- 10$ в $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 10$ .

$f (- 10) = \frac{1}{12} \cdot {(- 10)}^{4} + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Возведем $- 10$ в степень $4$ .

$f (- 10) = \frac{1}{12} \cdot 10000 + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$f (- 10) = \frac{1}{4 (3)} \cdot 10000 + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2.2

Вынесем множитель $4$ из $10000$ .

$f (- 10) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 2500) + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2.3

Сократим общий множитель.

$f (- 10) = \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 2500) + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.2.4

Перепишем это выражение.

$f (- 10) = \frac{1}{3} \cdot 2500 + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $2500$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + 3 {(- 10)}^{3} + 40 {(- 10)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.4

Возведем $- 10$ в степень $3$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + 3 \cdot - 1000 + 40 {(- 10)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.5

Умножим $3$ на $- 1000$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} - 3000 + 40 {(- 10)}^{2}$

Этап 3.3.2.1.6

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} - 3000 + 40 \cdot 100$

Этап 3.3.2.1.7

Умножим $40$ на $100$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} - 3000 + 4000$

Этап 3.3.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Запишем $- 3000$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000}{1} + 4000$

Этап 3.3.2.2.2

Умножим $\frac{- 3000}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4000$

Этап 3.3.2.2.3

Умножим $\frac{- 3000}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000 \cdot 3}{3} + 4000$

Этап 3.3.2.2.4

Запишем $4000$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000 \cdot 3}{3} + \frac{4000}{1}$

Этап 3.3.2.2.5

Умножим $\frac{4000}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000 \cdot 3}{3} + \frac{4000}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.3.2.2.6

Умножим $\frac{4000}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 10) = \frac{2500}{3} + \frac{- 3000 \cdot 3}{3} + \frac{4000 \cdot 3}{3}$

Этап 3.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 10) = \frac{2500 - 3000 \cdot 3 + 4000 \cdot 3}{3}$

Этап 3.3.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Умножим $- 3000$ на $3$ .

$f (- 10) = \frac{2500 - 9000 + 4000 \cdot 3}{3}$

Этап 3.3.2.4.2

Умножим $4000$ на $3$ .

$f (- 10) = \frac{2500 - 9000 + 12000}{3}$

Этап 3.3.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Вычтем $9000$ из $2500$ .

$f (- 10) = \frac{- 6500 + 12000}{3}$

Этап 3.3.2.5.2

Добавим $- 6500$ и $12000$ .

$f (- 10) = \frac{5500}{3}$

Этап 3.3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{5500}{3}$ .

$\frac{5500}{3}$

Этап 3.4

Подставляя $- 10$ в $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} + 3 x^{3} + 40 x^{2}$ , найдем точку $(- 10, \frac{5500}{3})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 10, \frac{5500}{3})$

Этап 3.5

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(- 8, \frac{4096}{3}), (- 10, \frac{5500}{3})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, - 8) \cup (- 8, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 10)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 10.1$ .

$f'' (- 10.1) = {(- 10.1)}^{2} + 18 (- 10.1) + 80$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 10.1$ в степень $2$ .

$f'' (- 10.1) = 102.01 + 18 (- 10.1) + 80$

Этап 5.2.1.2

Умножим $18$ на $- 10.1$ .

$f'' (- 10.1) = 102.01 - 181.8 + 80$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $181.8$ из $102.01$ .

$f'' (- 10.1) = - 79.79 + 80$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 79.79$ и $80$ .

$f'' (- 10.1) = 0.21$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $0.21$ .

$0.21$

Этап 5.3

При $- 10.1$ вторая производная имеет вид $0.21$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \infty, - 10)$ .

Возрастание в области $(- \infty, - 10)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 10, - 8)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 9$ .

$f'' (- 9) = {(- 9)}^{2} + 18 (- 9) + 80$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 9$ в степень $2$ .

$f'' (- 9) = 81 + 18 (- 9) + 80$

Этап 6.2.1.2

Умножим $18$ на $- 9$ .

$f'' (- 9) = 81 - 162 + 80$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $162$ из $81$ .

$f'' (- 9) = - 81 + 80$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 81$ и $80$ .

$f'' (- 9) = - 1$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 1$ .

$- 1$

Этап 6.3

При $- 9$ вторая производная имеет вид $- 1$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- 10, - 8)$ .

Убывание на $(- 10, - 8)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 8, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7.9$ .

$f'' (- 7.9) = {(- 7.9)}^{2} + 18 (- 7.9) + 80$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $- 7.9$ в степень $2$ .

$f'' (- 7.9) = 62.41 + 18 (- 7.9) + 80$

Этап 7.2.1.2

Умножим $18$ на $- 7.9$ .

$f'' (- 7.9) = 62.41 - 142.2 + 80$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $142.2$ из $62.41$ .

$f'' (- 7.9) = - 79.79 + 80$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 79.79$ и $80$ .

$f'' (- 7.9) = 0.21$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.21$ .

$0.21$

Этап 7.3

При $- 7.9$ вторая производная имеет вид $0.21$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 8, \infty)$ .

Возрастание в области $(- 8, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 10, \frac{5500}{3}), (- 8, \frac{4096}{3})$ .

$(- 10, \frac{5500}{3}), (- 8, \frac{4096}{3})$

Этап 9