Математический анализ Примеры

$\int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Этап 1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Этап 2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$2 \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}} d x$

Этап 3

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{2^{2} - x^{2}}}$ по $x$ имеет вид $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{x}{2})]_{0}^{1})$

Этап 4

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение $\arcsin (\frac{x}{2})$ в $1$ и в $0$ .

$2 ((\arcsin (\frac{1}{2})) - \arcsin (\frac{0}{2}))$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $0$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $0$ .

$2 (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (\frac{2 (0)}{2}))$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$2 (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (\frac{0}{1}))$

Этап 4.2.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$2 (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$2 (\frac{π}{6} - \arcsin (0))$

Этап 5.1.2

Точное значение $\arcsin (0)$ : $0$ .

$2 (\frac{π}{6} - 0)$

Этап 5.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$2 (\frac{π}{6} + 0)$

Этап 5.2

Добавим $\frac{π}{6}$ и $0$ .

$2 \frac{π}{6}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \frac{π}{2 (3)}$

Этап 5.3.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{π}{2 \cdot 3}$

Этап 5.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{π}{3}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{π}{3}$

Десятичная форма:

$1.04719755 \dots$

Этап 7