Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$

Этап 1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $\frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{3}{10}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3}{10} x^{5}$ по $x$ равна $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Этап 1.1.2.3

Объединим $5$ и $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Этап 1.1.2.4

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Этап 1.1.2.5

Объединим $\frac{15}{10}$ и $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Этап 1.1.2.6

Сократим общий множитель $15$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Этап 1.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Этап 1.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Этап 1.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 13 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 13$ является константой относительно $x$ , производная $- 13 x^{3}$ по $x$ равна $- 13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} - 13 (3 x^{2})$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 13$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} - 39 x^{2}$

Этап 1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{3 x^{4}}{2} - 39 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Этап 1.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x^{4}}{2}$ по $x$ равна $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Этап 1.2.2.3

Объединим $4$ и $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Этап 1.2.2.4

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Этап 1.2.2.5

Объединим $\frac{12}{2}$ и $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Этап 1.2.2.6

Сократим общий множитель $12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Этап 1.2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Этап 1.2.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Этап 1.2.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Этап 1.2.2.6.2.4

Разделим $6 x^{3}$ на $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$

Этап 1.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 39 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Поскольку $- 39$ является константой относительно $x$ , производная $- 39 x^{2}$ по $x$ равна $- 39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{3} - 39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 x^{3} - 39 (2 x)$

Этап 1.2.3.3

Умножим $2$ на $- 39$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} - 78 x$

Этап 1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{3} - 78 x$ .

$6 x^{3} - 78 x$

Этап 2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{3} - 78 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$6 x^{3} - 78 x = 0$

Этап 2.2

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{3} - 78 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x^{3}$ .

$6 x (x^{2}) - 78 x = 0$

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $6 x$ из $- 78 x$ .

$6 x (x^{2}) + 6 x (- 13) = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $6 x$ из $6 x (x^{2}) + 6 x (- 13)$ .

$6 x (x^{2} - 13) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 13 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 13$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 13$ к $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 13 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $13$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 13$

Этап 2.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{13}$

Этап 2.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{13}$

Этап 2.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{13}$

Этап 2.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 x (x^{2} - 13) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Этап 3

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} - 13 {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 - 13 {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $\frac{3}{10}$ на $0$ .

$f (0) = 0 - 13 {(0)}^{3}$

Этап 3.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 13 \cdot 0$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $- 13$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Этап 3.1.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Этап 3.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 3.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 3.3

Подставим $\sqrt{13}$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{13}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot {(\sqrt{13})}^{5} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{13}}^{5}$ в виде $\sqrt{13^{5}}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{13^{5}} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.2

Возведем $13$ в степень $5$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{371293} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем $371293$ в виде $169^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Вынесем множитель $28561$ из $371293$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{28561 (13)} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.3.2

Перепишем $28561$ в виде $169^{2}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot \sqrt{169^{2} \cdot 13} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (169 \sqrt{13}) - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.5

Умножим $\frac{3}{10} (169 \sqrt{13})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.5.1

Объединим $169$ и $\frac{3}{10}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{169 \cdot 3}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.5.2

Умножим $169$ на $3$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.5.3

Объединим $\frac{507}{10}$ и $\sqrt{13}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 {(\sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.3.2.1.6

Перепишем ${\sqrt{13}}^{3}$ в виде $\sqrt{13^{3}}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{13^{3}}$

Этап 3.3.2.1.7

Возведем $13$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{2197}$

Этап 3.3.2.1.8

Перепишем $2197$ в виде $13^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.8.1

Вынесем множитель $169$ из $2197$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{169 (13)}$

Этап 3.3.2.1.8.2

Перепишем $169$ в виде $13^{2}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 \sqrt{13^{2} \cdot 13}$

Этап 3.3.2.1.9

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (13 \sqrt{13})$

Этап 3.3.2.1.10

Умножим $13$ на $- 13$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 169 \sqrt{13}$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $- 169 \sqrt{13}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 169 \sqrt{13} \cdot \frac{10}{10}$

Этап 3.3.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Объединим $- 169 \sqrt{13}$ и $\frac{10}{10}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13}}{10} + \frac{- 169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

Этап 3.3.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13} - 169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

Этап 3.3.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Умножим $10$ на $- 169$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{507 \sqrt{13} - 1690 \sqrt{13}}{10}$

Этап 3.3.2.4.2

Вычтем $1690 \sqrt{13}$ из $507 \sqrt{13}$ .

$f (\sqrt{13}) = \frac{- 1183 \sqrt{13}}{10}$

Этап 3.3.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\sqrt{13}) = - \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

Этап 3.3.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$ .

$- \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

Этап 3.4

Подставляя $\sqrt{13}$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ , найдем точку $(\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

Этап 3.5

Подставим $- \sqrt{13}$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{13}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot {(- \sqrt{13})}^{5} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{13}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot ({(- 1)}^{5} {\sqrt{13}}^{5}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- {\sqrt{13}}^{5}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{13}}^{5}$ в виде $\sqrt{13^{5}}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{13^{5}}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2.1.4

Возведем $13$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{371293}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2.1.5

Перепишем $371293$ в виде $169^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.5.1

Вынесем множитель $28561$ из $371293$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{28561 (13)}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2.1.5.2

Перепишем $28561$ в виде $169^{2}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- \sqrt{169^{2} \cdot 13}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2.1.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- (169 \sqrt{13})) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2.1.7

Умножим $169$ на $- 1$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{3}{10} \cdot (- 169 \sqrt{13}) - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2.1.8

Умножим $\frac{3}{10} (- 169 \sqrt{13})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.8.1

Объединим $- 169$ и $\frac{3}{10}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 169 \cdot 3}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2.1.8.2

Умножим $- 169$ на $3$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507}{10} \cdot \sqrt{13} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2.1.8.3

Объединим $\frac{- 507}{10}$ и $\sqrt{13}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507 \sqrt{13}}{10} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2.1.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 {(- \sqrt{13})}^{3}$

Этап 3.5.2.1.10

Применим правило умножения к $- \sqrt{13}$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{13}}^{3})$

Этап 3.5.2.1.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- {\sqrt{13}}^{3})$

Этап 3.5.2.1.12

Перепишем ${\sqrt{13}}^{3}$ в виде $\sqrt{13^{3}}$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{13^{3}})$

Этап 3.5.2.1.13

Возведем $13$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{2197})$

Этап 3.5.2.1.14

Перепишем $2197$ в виде $13^{2} \cdot 13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1.14.1

Вынесем множитель $169$ из $2197$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{169 (13)})$

Этап 3.5.2.1.14.2

Перепишем $169$ в виде $13^{2}$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- \sqrt{13^{2} \cdot 13})$

Этап 3.5.2.1.15

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- (13 \sqrt{13}))$

Этап 3.5.2.1.16

Умножим $13$ на $- 1$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} - 13 (- 13 \sqrt{13})$

Этап 3.5.2.1.17

Умножим $- 13$ на $- 13$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} + 169 \sqrt{13}$

Этап 3.5.2.2

Чтобы записать $169 \sqrt{13}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} + 169 \sqrt{13} \cdot \frac{10}{10}$

Этап 3.5.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.3.1

Объединим $169 \sqrt{13}$ и $\frac{10}{10}$ .

$f (- \sqrt{13}) = - \frac{507 \sqrt{13}}{10} + \frac{169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

Этап 3.5.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507 \sqrt{13} + 169 \sqrt{13} \cdot 10}{10}$

Этап 3.5.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.4.1

Умножим $10$ на $169$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{- 507 \sqrt{13} + 1690 \sqrt{13}}{10}$

Этап 3.5.2.4.2

Добавим $- 507 \sqrt{13}$ и $1690 \sqrt{13}$ .

$f (- \sqrt{13}) = \frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

Этап 3.5.2.5

Окончательный ответ: $\frac{1183 \sqrt{13}}{10}$ .

$\frac{1183 \sqrt{13}}{10}$

Этап 3.6

Подставляя $- \sqrt{13}$ в $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} - 13 x^{3}$ , найдем точку $(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

Этап 3.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10}), (- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - \sqrt{13}) \cup (- \sqrt{13}, 0) \cup (0, \sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - \sqrt{13})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.70555127$ .

$f'' (- 3.70555127) = 6 {(- 3.70555127)}^{3} - 78 \cdot - 3.70555127$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 3.70555127$ в степень $3$ .

$f'' (- 3.70555127) = 6 \cdot - 50.88133311 - 78 \cdot - 3.70555127$

Этап 5.2.1.2

Умножим $6$ на $- 50.88133311$ .

$f'' (- 3.70555127) = - 305.28799871 - 78 \cdot - 3.70555127$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 78$ на $- 3.70555127$ .

$f'' (- 3.70555127) = - 305.28799871 + 289.03299948$

Этап 5.2.2

Добавим $- 305.28799871$ и $289.03299948$ .

$f'' (- 3.70555127) = - 16.25499922$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 16.25499922$ .

$- 16.25499922$

Этап 5.3

При $- 3.70555127$ вторая производная имеет вид $- 16.25499922$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - \sqrt{13})$ .

Убывание на $(- \infty, - \sqrt{13})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \sqrt{13}, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1.80277563$ .

$f'' (- 1.80277563) = 6 {(- 1.80277563)}^{3} - 78 \cdot - 1.80277563$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $- 1.80277563$ в степень $3$ .

$f'' (- 1.80277563) = 6 \cdot - 5.85902082 - 78 \cdot - 1.80277563$

Этап 6.2.1.2

Умножим $6$ на $- 5.85902082$ .

$f'' (- 1.80277563) = - 35.15412493 - 78 \cdot - 1.80277563$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 78$ на $- 1.80277563$ .

$f'' (- 1.80277563) = - 35.15412493 + 140.61649974$

Этап 6.2.2

Добавим $- 35.15412493$ и $140.61649974$ .

$f'' (- 1.80277563) = 105.4623748$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $105.4623748$ .

$105.4623748$

Этап 6.3

При $- 1.80277563$ вторая производная имеет вид $105.4623748$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- \sqrt{13}, 0)$ .

Возрастание в области $(- \sqrt{13}, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(0, \sqrt{13})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.80277563$ .

$f'' (1.80277563) = 6 {(1.80277563)}^{3} - 78 \cdot 1.80277563$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $1.80277563$ в степень $3$ .

$f'' (1.80277563) = 6 \cdot 5.85902082 - 78 \cdot 1.80277563$

Этап 7.2.1.2

Умножим $6$ на $5.85902082$ .

$f'' (1.80277563) = 35.15412493 - 78 \cdot 1.80277563$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 78$ на $1.80277563$ .

$f'' (1.80277563) = 35.15412493 - 140.61649974$

Этап 7.2.2

Вычтем $140.61649974$ из $35.15412493$ .

$f'' (1.80277563) = - 105.4623748$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 105.4623748$ .

$- 105.4623748$

Этап 7.3

При $1.80277563$ вторая производная имеет вид $- 105.4623748$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, \sqrt{13})$ .

Убывание на $(0, \sqrt{13})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(\sqrt{13}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.70555127$ .

$f'' (3.70555127) = 6 {(3.70555127)}^{3} - 78 \cdot 3.70555127$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Возведем $3.70555127$ в степень $3$ .

$f'' (3.70555127) = 6 \cdot 50.88133311 - 78 \cdot 3.70555127$

Этап 8.2.1.2

Умножим $6$ на $50.88133311$ .

$f'' (3.70555127) = 305.28799871 - 78 \cdot 3.70555127$

Этап 8.2.1.3

Умножим $- 78$ на $3.70555127$ .

$f'' (3.70555127) = 305.28799871 - 289.03299948$

Этап 8.2.2

Вычтем $289.03299948$ из $305.28799871$ .

$f'' (3.70555127) = 16.25499922$

Этап 8.2.3

Окончательный ответ: $16.25499922$ .

$16.25499922$

Этап 8.3

При $3.70555127$ вторая производная имеет вид $16.25499922$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(\sqrt{13}, \infty)$ .

Возрастание в области $(\sqrt{13}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 9

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10}), (0, 0), (\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$ .

$(- \sqrt{13}, \frac{1183 \sqrt{13}}{10}), (0, 0), (\sqrt{13}, - \frac{1183 \sqrt{13}}{10})$

Этап 10