Математический анализ Примеры

$- x y + x^{3} + 5 = - y^{2}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (- x y + x^{3} + 5) = \frac{d}{d x} (- y^{2})$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x y + x^{3} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = y$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.5

Умножим $y$ на $1$ .

$- (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (x y' + y) + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- (x y' + y) + 3 x^{2} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x y') - y + 3 x^{2} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $- x y' - y + 3 x^{2}$ и $0$ .

$- x y' - y + 3 x^{2}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} - x y' - y$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y$ .

$- (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $y$ .

$- (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 (y \frac{d}{d x} [y])$

Этап 3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$- 2 y y'$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} - x y' - y = - 2 y y'$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Добавим $2 y y'$ к обеим частям уравнения.

$3 x^{2} - x y' - y + 2 y y' = 0$

Этап 5.2

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- x y' - y + 2 y y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.2.2

Добавим $y$ к обеим частям уравнения.

$- x y' + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Этап 5.3

Вынесем множитель $y'$ из $- x y' + 2 y y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $y'$ из $- x y'$ .

$y' (- x) + 2 y y' = - 3 x^{2} + y$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y'$ из $2 y y'$ .

$y' (- x) + y' (2 y) = - 3 x^{2} + y$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $y'$ из $y' (- x) + y' (2 y)$ .

$y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$

Этап 5.4

Разделим каждый член $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ на $- x + 2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $y' (- x + 2 y) = - 3 x^{2} + y$ на $- x + 2 y$ .

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $- x + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' (- x + 2 y)}{- x + 2 y} = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x + 2 y} + \frac{y}{- x + 2 y}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y}{- x + 2 y}$

Этап 5.4.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y}{- x + 2 y}$

Этап 5.4.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y)}{- x + 2 y}$

Этап 5.4.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Этап 5.4.3.5

Перепишем $- (3 x^{2} - y)$ в виде $- 1 (3 x^{2} - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- x + 2 y}$

Этап 5.4.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) + 2 y}$

Этап 5.4.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x) - (- 2 y)}$

Этап 5.4.3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- (x - 2 y)}$

Этап 5.4.3.9

Перепишем $- (x - 2 y)$ в виде $- 1 (x - 2 y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Этап 5.4.3.10

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y)}{- 1 (x - 2 y)}$

Этап 5.4.3.11

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y}{x - 2 y}$