Математический анализ Примеры

$\int {(\frac{1}{3} y)}^{\frac{1}{2}} d y$

Этап 1

Пусть $u = \frac{1}{3} y$ . Тогда $d u = \frac{1}{3} d y$ , следовательно $3 d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \frac{1}{3} y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{3} y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{3} y]$

Этап 1.1.2

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{3} y$ по $y$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Этап 1.1.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{3}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{3}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} (1 \cdot 3) d u$

Этап 2.2

Умножим $3$ на $1$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} \cdot 3 d u$

Этап 2.3

Перенесем $3$ влево от $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 3 u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ в виде $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.2.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 5.2.3.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{3} y$ .

$2 {(\frac{1}{3} y)}^{\frac{3}{2}} + C$